Windschiefe Geraden

Aufrufe: 651     Aktiv: 24.07.2021 um 09:07
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Ich hab Probleme folgenden Satz zu beweisen: Sei A = \(\mathbb{R^3}\) affiner Raum über sich selbst. Seien \(l, l' \subseteq A\) zwei nicht parallele Geraden mit \( l \cap l' = \emptyset \). (Also zwei windschiefe Geraden). Sei weiter \(B\subseteq A \) affiner Teilraum, der l und l' enthält. Zeige, dass B = A gilt. 

Wäre schön, wenn mir jemand paar Denkanstöße liefern kann. Anschaulich ist mir das völlig klar, aber ich kann es nicht formalisieren.
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Um die Gleichheit zweier Mengen \(A,B\) zu zeigen, genügt es die Inklusionen \(A\subseteq B\) und \(B\subseteq A\) zu zeigen. Letztere ist nach Vorraussetzung war, du musst also nur noch \(A\subseteq B\) zeigen. Kommst du jetzt weiter?
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Das war auch so meine erste Idee. Ich hätte dann halt angefangen mit: Sei x \(\in A\). Dann hätte ich versucht das x darzustellen als Linearkombination aus l und l'. Aber daran scheitert es irgendwie. Die affinen Geraden l und l' bestimmen ja einen eindeutigen eindimensionalen Untervektorraum der Richtungsvektoren. Aber das wäre dann ja nur zweidimensional. Durch die Vorraussetzung l und l' disjunkt kommt die dritte Dimension ins Spiel, aber irgendwie will es nicht so.

Ein Widerspruch ist auch kein Ansatz, dass man startet mit Sei x \(\in B\A\), also man will annehmen, dass A eine echte Teilmenge von B ist und das auf einen Widerspruch führen. Aber dann hätte ich ja dastehen x \(\in B\R³\), was ja irgendwie Blödsinnig ist.   ─   sorcing 20.07.2021 um 16:42
Kennst du die Dimensionsformel für affine Räume?   ─   mathejean 20.07.2021 um 19:22
Nein, nicht wirklich. Ich kenne die Dimensionsformel für Vektorräume. Ich habe Mal mitbekommen das die Dimensionsformel für affine Räume die selbe ist, nur mit einem +1 noch. Aber einen Beweis davon kenne ich nicht, auch nicht, warum das so sein sollte.   ─   sorcing 20.07.2021 um 19:28
Ich habs jetzt so gemacht. Würde mich freuen wenn du oder sonst jemand mal rüber schauen könnte.

$l$ und $l'$ sind n.V Geraden, also eindimensional. Diese bestimmen jeweils einen eindeutigen eindimensionalen Vektorraum der Richtungsvektoren. Sei $U$ bestimmt durch $l$ und $V$ bestimmt durch $l'$. Wegen der Vorraussetzung das $l$ und $l'$ nicht parallel sind, sind $U$ und $V$ nicht gleich. Daraus folgt $dim(U \cap V)$ = 0
Die Dimensionsformel für affine Räume lautet:

$dim(l+l') = dim(l) + dim(l') - dim(U \cap V) +1 $

Unsere Vorraussetzungen eingesetzt ergibt:

$dim(l+l') = 1 + 1 - 0 +1 = 3$

Der $kleinste$ affine Unterraum, der sowohl $l$ als auch $l'$ enthält ist $l + l' $, und weil bereits $B\subseteq A$, und $l,l'\subseteq B$ gilt folgt die Behauptung.
Also weil der kleinste affine Raum, der $l$ und $l'$ enthält, Dimension 3 hat und beide Geraden in B liegen, muss die Dimension von B auch 3 sein. Also B = A.   ─   sorcing 22.07.2021 um 22:57
Wenn du so die Dimensionsformel verwenden darfst, ist dein Beweis korrekt. Ich kenne die Dimensionsformel für affine Räume nur mit Verbindungsräumen (affine Hülle).   ─   mathejean 23.07.2021 um 10:22
Was meinst du mit wenn ich die Dim Formel so verwenden darf? Wie würdest du es lösen?   ─   sorcing 23.07.2021 um 18:58
Schau mal hier die Dimensionsformel: https://de.m.wikipedia.org/wiki/Affiner_Unterraum   ─   mathejean 24.07.2021 um 09:07

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