Geometrische Verteilung - Wahrscheinlichkeit berechnen

Aufrufe: 118     Aktiv: 05.08.2021 um 19:36

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Kann mir jemand den markierten Schritt erklären? 


Ich komme einfach nicht darauf was da genau gemacht wurde.
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Vielleicht hast du die Indexverschiebung übersehen im letzten Schritt? Also in etwa so 
\[\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{6} ( \underbrace{1-\frac{1}{6}}_{=\frac{5}{6}} )^{2k-1}=\frac{1}{6}\sum_{k=1}^{\infty} ( \frac{5}{6} )^{2k-1}=\frac{1}{6}\frac{5}{6}\sum_{k=1}^{\infty} ( \frac{5}{6} )^{2k-2}=\frac{1}{6}\frac{5}{6}\sum_{k=1}^{\infty} ( \frac{5}{6} )^{2(k-1)}=\frac{1}{6}\frac{5}{6}\sum_{k=1}^{\infty} ((\frac{5}{6})^2)^{k-1}=\frac{1}{6}\frac{5}{6}\sum_{k=0}^{\infty} ((\frac{5}{6})^2)^{k}.\]
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Student, Punkte: 400

 

Ja das klingt logisch, ich frage mich nur wie du bei der dritten Summe auf die -2 kommst und warum du da schon die 5/6 schon nach vorne zeihen kannst?   ─   freakbob999 05.08.2021 um 14:30

Das ist eines der Potenzgesetze. \(\frac{5}{6}(\frac{5}{6})^{2k-2}=(\frac{5}{6})^{2k-2+1}=(\frac{5}{6})^{2k-1}\). Da \(\frac{5}{6}\) nicht von \(k\) abhängt, kannst du es vor die Reihe schreiben.   ─   orbit 05.08.2021 um 15:22

@orbit: Besser demnächst $\texttt{\left(}$ und $\texttt{\right)}$ für die Klammern verwenden. Das passt die Klammergröße an den Inhalt an, was zu einer deutlichen besseren Lesbarkeit führt. :)   ─   cauchy 05.08.2021 um 18:20

@cauchy: Das ist mir bekannt, sah allerdings in Kombination mit \underbrace auch nicht schön aus. Leider hatte \big nicht funktioniert, weshalb ich mich dagegen entschieden habe. Trotzdem Danke für den gutgemeinten Rat :)

@Downvoter: Hier wurde explizit nach einer Gleichheit gefragt. Die Lösung der Aufgabe war dem Fragensteller ja bereits bekannt. Einen Downvote für eine vollständige Lösung halte ich daher für übertrieben.
  ─   orbit 05.08.2021 um 19:36

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-2
Da wird die Summenformel der geometrischen Reihe angewendet.
\(\sum_{k=0}^\infty q^k= {1 \over 1-q}\) mit \(q = ({5 \over 6})^2={25 \over 36}\)
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Soweit habe ich das ja bereits verstanden. Mit geht es vielmehr um die Umformung davor. Wie man die -1 im Exponenten behandelt hat.   ─   freakbob999 05.08.2021 um 12:48

Dann würde aber am Ende ein anderes Ergebnis herauskommen oder? Das Ergebnis ist aber mit 5/11 richtig.   ─   freakbob999 05.08.2021 um 13:45

Ja stimmt, ich habe übersehen, dass die Grenzen der Summe geändert wurden, dann ergibt es wieder Sinn:), k wurde mit k+1 ersetzt, sodass die untere Grenze zu k=0 wird und der exponent zu 2k+1, wonach die 5/6 nach vorne gezogen werden können   ─   fix 05.08.2021 um 14:13

Die Geometrische Reihe startet allerdings bei \(k=0\).   ─   orbit 05.08.2021 um 14:18

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