Der Vollständigkeit halber werde ich hier noch den Fall für $x_0 = \frac{1}{2}$ ausführen:

Ist $f^\prime(\frac{1}{2}) \le 0$, so wählen wir ein $y < \frac{1}{2}$ mit

$2 > \frac{f(\frac{1}{2})-f(y)}{\frac{1}{2}-y} - f^\prime(\frac{1}{2})$ $\ge \frac{f(\frac{1}{2})-f(y)}{\frac{1}{2}-y}$ $= \frac{1-f(y)}{\frac{1}{2}-y}$,

und können zu $f(y) > 2y$ umformen. Es folgt

$2 < \frac{f(y)-f(0)}{y-0} = f^\prime(c)$

für ein $c$ zwischen $0$ und $y$.

Ist $f^\prime(\frac{1}{2}) > 0$, so wählen wir ein $y > \frac{1}{2}$ mit

$-2 < \frac{f(y) - f(\frac{1}{2})}{y - \frac{1}{2}} - f^\prime(\frac{1}{2})$ $< \frac{f(y) - f(\frac{1}{2})}{y - \frac{1}{2}}$ $= \frac{f(y) - 1}{y - \frac{1}{2}}$

und können zu $f(y) > 2(1-y)$ umformen. Es folgt

$-2 > \frac{f(1)-f(y)}{1-y} = f^\prime(c)$

für ein $c$ zwischen $y$ und $1$.

In beiden Fällen erhalten wir also ein $c$ mit $\vert f^\prime(c) \vert > 2$.


EDIT: Hier ist noch eine alternative Formulierung der Beweisidee, die vielleicht zugänglicher ist.

Angenommen es gilt stets $\vert f^\prime(x) \vert \le 2$.

Dann ist $f(x) \le 2x$ und auch $f(x) \le 2(1-x)$, denn für $x \in (0,1)$ gilt

$\frac{f(x)}{x} = \frac{f(x)-f(0)}{x-0}$ $= f^\prime(c_1)$ $\le 2$ und $\frac{f(x)}{1-x} = - \frac{f(1)-f(x)}{1-x}$ $= - f^\prime(c_2) \le 2$

für ein $c_1 \in (0,x)$ und ein $c_2 \in (x,1)$.

Aus den Abschätzungen folgt unmittelbar, dass $f(x) < 1$ ist für $x \neq \frac{1}{2}$, also muss $x_0 = \frac{1}{2}$ sein.

Wir folgern weiter, dass einerseits

$f^\prime(\frac{1}{2}) = \lim_{x \to (\frac{1}{2})^-} \frac{f(\frac{1}{2})-f(x)}{\frac{1}{2}-x}$ $\ge \lim_{x \to (\frac{1}{2})^-} \frac{1-2x}{\frac{1}{2}-x}$ $= 2$

ist, aber dass auch andererseits

$f^\prime(\frac{1}{2}) = \lim_{x \to (\frac{1}{2})^+} \frac{f(x)-f(\frac{1}{2})}{x-\frac{1}{2}}$ $\le \lim_{x \to (\frac{1}{2})^+} \frac{2(1-x)-1}{x-\frac{1}{2}}$ $= -2$

sein muss. Das ist offensichtlich ein Widerspruch.

Satz 168 passt schon.
Die drittletzte Zeile Deiner Rechnung lautet umgeformt:
$\displaystyle f'(x) = -\frac{1}{1-x_0}$.       (1)
In der letzten Zeile steht:
$\displaystyle f'(x) = \frac{1}{x_0}$.       (2)

Das ist allerdings ungünstig aufgeschrieben, denn bei Gleichung (2) ist $0<x<x_0$, und bei Gl. (1) ist $x_0<x<1$, weswegen man verschiedene Variablenbezeichnungen nehmen sollte:
$\displaystyle f'(x^{*}) = -\frac{1}{1-x_0}$ für ein $x^{*}\in(x_0,1)$       (1')
$\displaystyle f'(x_{*}) = \frac{1}{x_0}$ für ein $x_{*}\in(0,x_0)$       (2')

Nun braucht es eine Fallunterscheidung:
Fall 1: $x_0<\frac{1}{2}$
Dann kann man mit Gleichung (2') zeigen, dass $f'(x_{*})>2$. Dann gilt die Aussage mit $c=x_{*}$.
Fall 2: $x_0>\frac{1}{2}$
Dann kann man mit Gleichung (1') zeigen, dass $f'(x^{*})<-2$.
Fall 3: $x_0=\frac{1}{2}$
Hier wird's kompliziert.
Die Aussage ist auch in diesem Falle richtig.
Mit Satz 168 und dessen Folgerungen allein kann man aber nur zeigen, dass $|f'(x)|\ge 2$.
Weswegen ich vermute, dass nur "$|{f'(x)}|\ge -2$" gezeigt werden muss.