Der Vollständigkeit halber werde ich hier noch den Fall für \( x_0 = \frac{1}{2} \) ausführen:

Ist \( f^\prime(\frac{1}{2}) \le 0 \), so wählen wir ein \( y < \frac{1}{2} \) mit

\( 2 > \frac{f(\frac{1}{2})-f(y)}{\frac{1}{2}-y} - f^\prime(\frac{1}{2}) \) \( \ge \frac{f(\frac{1}{2})-f(y)}{\frac{1}{2}-y} \) \( = \frac{1-f(y)}{\frac{1}{2}-y} \),

und können zu \( f(y) > 2y \) umformen. Es folgt

\( 2 < \frac{f(y)-f(0)}{y-0} = f^\prime(c) \)

für ein \( c \) zwischen \( 0 \) und \( y \).

Ist \( f^\prime(\frac{1}{2}) > 0 \), so wählen wir ein \( y > \frac{1}{2} \) mit

\( -2 < \frac{f(y) - f(\frac{1}{2})}{y - \frac{1}{2}} - f^\prime(\frac{1}{2}) \) \( < \frac{f(y) - f(\frac{1}{2})}{y - \frac{1}{2}} \) \( = \frac{f(y) - 1}{y - \frac{1}{2}} \)

und können zu \( f(y) > 2(1-y) \) umformen. Es folgt

\( -2 > \frac{f(1)-f(y)}{1-y} = f^\prime(c) \)

für ein \( c \) zwischen \( y \) und \( 1 \).

In beiden Fällen erhalten wir also ein \( c \) mit \( \vert f^\prime(c) \vert > 2 \).


EDIT: Hier ist noch eine alternative Formulierung der Beweisidee, die vielleicht zugänglicher ist.

Angenommen es gilt stets \( \vert f^\prime(x) \vert \le 2 \).

Dann ist \( f(x) \le 2x \) und auch \( f(x) \le 2(1-x) \), denn für \( x \in (0,1) \) gilt

\( \frac{f(x)}{x} = \frac{f(x)-f(0)}{x-0} \) \( = f^\prime(c_1) \) \( \le 2 \) und \( \frac{f(x)}{1-x} = - \frac{f(1)-f(x)}{1-x} \) \( = - f^\prime(c_2) \le 2 \)

für ein \( c_1 \in (0,x) \) und ein \( c_2 \in (x,1) \).

Aus den Abschätzungen folgt unmittelbar, dass \( f(x) < 1 \) ist für \( x \neq \frac{1}{2} \), also muss \( x_0 = \frac{1}{2} \) sein.

Wir folgern weiter, dass einerseits

\( f^\prime(\frac{1}{2}) = \lim_{x \to (\frac{1}{2})^-} \frac{f(\frac{1}{2})-f(x)}{\frac{1}{2}-x} \) \( \ge \lim_{x \to (\frac{1}{2})^-} \frac{1-2x}{\frac{1}{2}-x} \) \( = 2 \)

ist, aber dass auch andererseits

\( f^\prime(\frac{1}{2}) = \lim_{x \to (\frac{1}{2})^+} \frac{f(x)-f(\frac{1}{2})}{x-\frac{1}{2}} \) \( \le \lim_{x \to (\frac{1}{2})^+} \frac{2(1-x)-1}{x-\frac{1}{2}} \) \( = -2 \)

sein muss. Das ist offensichtlich ein Widerspruch.

Satz 168 passt schon.
Die drittletzte Zeile Deiner Rechnung lautet umgeformt:
\(\displaystyle f'(x) = -\frac{1}{1-x_0}\).       (1)
In der letzten Zeile steht:
\(\displaystyle f'(x) = \frac{1}{x_0}\).       (2)

Das ist allerdings ungünstig aufgeschrieben, denn bei Gleichung (2) ist \(0<x<x_0\), und bei Gl. (1) ist \(x_0<x<1\), weswegen man verschiedene Variablenbezeichnungen nehmen sollte:
\(\displaystyle f'(x^{*}) = -\frac{1}{1-x_0}\) für ein \(x^{*}\in(x_0,1)\)       (1')
\(\displaystyle f'(x_{*}) = \frac{1}{x_0}\) für ein \(x_{*}\in(0,x_0)\)       (2')

Nun braucht es eine Fallunterscheidung:
Fall 1: \(x_0<\frac{1}{2}\)
Dann kann man mit Gleichung (2') zeigen, dass \(f'(x_{*})>2\). Dann gilt die Aussage mit \(c=x_{*}\).
Fall 2: \(x_0>\frac{1}{2}\)
Dann kann man mit Gleichung (1') zeigen, dass \(f'(x^{*})<-2\).
Fall 3: \(x_0=\frac{1}{2}\)
Hier wird's kompliziert.
Die Aussage ist auch in diesem Falle richtig.
Mit Satz 168 und dessen Folgerungen allein kann man aber nur zeigen, dass \(|f'(x)|\ge 2\).
Weswegen ich vermute, dass nur "\(|{f'(x)}|\ge -2\)" gezeigt werden muss.