Menge in Polarkoordinaten angeben und Integral berechnen

Aufrufe: 383     Aktiv: 28.06.2022 um 17:17
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Servus,
ich habe hier folgende Aufgabe:
Sei \( P:=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x^{2}+y^{2} \leq a^{2}\right\} \). Ich soll die Menge \( P \) mit Polarkoordinaten angeben und folgendes Integral berechen:
\(\int \limits_{P} \mathrm{e}^{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} P\)

Mein Ansatz:
Ich soll das ganze in Polarkoordinaten überführen, also kann ich schreiben:
$x^2+y^2=r^2 \sin^2(θ)+r^2 \cos^2(θ)=r^2(sin^2(θ)+cos^2(θ)) = r^2$, daher weiß ich:
$x^2+y^2=r^2 \leq a^2 \Rightarrow r \leq a$. Weil ich durch die Menge $P$ keine weiteren Einschränkungen habe, welchen Bereich ich mir vom Kreis anschauen soll, nehme ich den Ganzen. Also habe ich eine Abbildung:
$P: ]0,a] \times ]0,2 \pi] \rightarrow R^2 \backslash \{(x,y)|x \geq 0 \land y=0 \} $ mit $P(r, φ) = (r \cos(φ), r \sin(φ))$

Jetzt würde ich ganz gerne das Integral tranformieren, ich verstehe nur nicht so ganz recht, wie ich an die neuen Grenzen für das entstehende Doppelintegral drankomme. Könnte mir da jemand weiterhelfen?

MfG Josh
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1 Antwort
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Zunächst war ja die Aufgabe, die Menge $P$ in Polarkoordinaten anzugeben. Das hast Du noch nicht gemacht. Stattdessen hast Du eine Transformation eingeführt und die auch $P$ genannt (Unheil beginnt oft damit, dass man zwei ganz verschiedene Dinge mit den gleichen Bezeichnungen verwendet - wozu? Es gibt genug andere Buchstaben).
Außerdem sollte Dir sofort klar sein, dass es hier um eine Kreisfläche geht, so dass auch ohne Rechnung klar ist, wie die in Polarkoordinaten aussieht.
Und damit auch die Grenzen.
Beim Doppelintegral in Polarkoordinaten kommt, aufgrund der 2d-Substitutionsregel ein Faktor $r$ hinzu. Herleitungen und Erklärungen finden man haufenweise im Internet.
Übersichtlich z.B. hier https://www2.math.ethz.ch/education/bachelor/lectures/fs2013/other/mathematik2_biol/Kapitel9 auf Folie 16-19, Zusammenfassung auf Folie 20.
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Danke ersteinmal für deine Antwort,

dass es sich um eine Kreisfläche handelt ist mir klar. Ohne Rechnung ist mir allerdings eben nicht klar, wie die Polarkoordinaten aussehen. Den Begriff habe ich so das erste Mal in der Aufgabe gelesen. Ich habe mir das mal im Netz mal angeschaut und diese Rechnung an sich, sicherlich auch schonmal in der Schule verwendet, aber die Beispiele bezogen sich da auf konkrete Koordinaten.
Naja wie dem auch sei, unter der Annahme dass folgende Polardarstellung $A$ richtig ist (was sie glaube ich nicht ist, aber nu gut), würde ich gerne wissen ob das folgende Vorgehen dann korrekt ist:

$$A= \{(r \cos (\phi),r \sin (\phi) | \phi \in [0,2 \pi], r \in [0,a]\}$$
$$f(x,y) = e^{x^2+y^2} = e^{r^2 \cos^2 (\phi)+ r^2 \sin^2 (\phi)} = e^{r^2 (\cos^2 (\phi)+ \sin^2 (\phi))}= e^{r^2}$$
$$\int \limits_{A}^{}e^{x^2+y^2}dA = \int \limits_{\phi =0}^{2 \pi}\int \limits_{0}^{a}e^{r^2} \cdot rdrd \phi = \int \limits_{0}^{2 \pi}[\frac{1}{2}e^{r^2}]^a _0 d\phi=\int \limits_{0}^{2 \pi}(\frac{1}{2}e^{a^2}-\frac{1}{2})d \phi = 2 \pi (e^{a^2}-\frac{1}{2})$$

Ich gehe davon aus, dass $A$ inkorrekt ist, weil sobald ich z.B. $a=3$ setze ganz utopische Werte da raus kommen. Könntest du mir ggf. erklären wie ich diese Menge in korrekte Polarkoordinaten überführe?

LG   ─   1osh 28.06.2022 um 16:05
Huch ja das mit der 1/2 ist mir nicht aufgefallen. Danke für deine Hilfe   ─   1osh 28.06.2022 um 17:17

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