Kontraktionen sind stetig

Aufrufe: 493     Aktiv: 04.10.2022 um 15:56

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Mein Prof hat in unserem Skript lediglich geschrieben: Jede Kontraktion ist stetig, dies folgt mittels des Folgenkriteriums für Stetigkeit.
Kann mir jemand helfen, wie das zusammenhängt bzw. wie man das beweist?
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Student, Punkte: 79

 

Ich bin zwar schon einige Zeit raus aus der Uni, aber ich hab mir die Definition nochmal angeschaut und das erinnert stark an Lipschitzstetigkeit. Da ich mir aber nicht zu hundert Prozent sicher bin hier „nur“ ein Kommentar. Eine Antwort überlasse ich denen die sicherer in der Materie stecken.   ─   maqu 01.10.2022 um 09:23
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Ja Kontraktionen sind Lipschitzstetig,  man fordert hier das die Lipschitzkonstante kleiner als 1 ist. Mit dem Folgenkriterium folgt es leicht. Sei \((x_n)_n\) eine Folge mit \(x_n \to x\), dann ist \(d(f(x_n), f(x))\leq L \cdot d(x_n,x)\to 0\). Du könntest aber auch in der \(\varepsilon-\delta\)- Definition einfach \(\delta:=\frac{\varepsilon}L\) setzen, der Fall \(L=0\) ist trivial
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Student, Punkte: 10.87K

 

Hey, danke für die Antwort. Nur leider hat unser Prof bis zu diesem Punkt im Skript keine Definition zu Lipschitz-stetig gemacht, das kommt erst viel später. Ich kenne also die Definition davon gar nicht, dann darf ich sie ja auch leider nicht zum Beweisen verwenden, also hat er das wahrscheinlich nicht gemeint...   ─   emiliahlg 04.10.2022 um 15:41

Ich habe auch nirgendwo Lipschitzstetig verwendet, L soll die Kontraktionskonstante seien. Den ersten Satz kannst du ignorieren, er ist dann nur für maqu   ─   mathejean 04.10.2022 um 15:55

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