Differentialgleichung lösen (1 Ordnung linear)

Aufrufe: 81     Aktiv: 19.07.2021 um 17:39

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Hallo
Die Aufgabe ist y' + 2y = 1 ich bin so vorgegangen ist das korrekt ? siehe Bild
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Student, Punkte: 15

 
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Ansatz in Ordnung. Das Integral auf der linken Seite hast du aber falsch berechnet. Dort kommt \(-\frac{1}{2}\ln(1-2y)\) raus. Bei der Lösung steht dann im Exponenten der \(\mathrm{e}\)-Funktion \(-2x\).
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Hey danke für die schnelle Antwort ! wie kann ich denn dann e^-1/2 ln (1-2y) ausmultiplizieren . Ohne das -1/2 wäre da ln ja einfach weggefallen aber so hab ich keine Ahnung wie das funktionieren sollte. Danke!   ─   user31f287 18.07.2021 um 22:09

Multipliziere die Gleichung doch einfach vorher mit -2, dann hast du links wieder nur den ln stehen und siehst dann auch, warum am Ende \(-2x\) im Exponenten steht. ;)   ─   cauchy 18.07.2021 um 22:23

Irgendwie hab ich gerade nen hänger, wenn ich mit -2 multipliziere dann hab ich ja ln(-2+4y) und dann steht bei mir -2 + 4y = e^x*c da steht immer noch kein -2x im Exponenten sorry das ich Ihre Zeit hier verschwende ich peils einfach nicht :(   ─   user31f287 18.07.2021 um 22:50

Warum multiplizierst du das Argument vom ln?

\(-\frac{1}{2}\ln(1-2y)=x+c\) -> Multiplikation mit -2: \(\ln(1-2y)=-2x+\tilde{c}\)
  ─   cauchy 18.07.2021 um 22:57

Sorry das kann ich jetzt überhaupt garnicht nachvollziehen wie kann denn aus 1-2y -2x + c werden?   ─   user31f287 18.07.2021 um 23:25

Da steht \(\ln(1-2y)\)!!! Es ist einfach eine simple Äquivalenzumformung, indem die Gleichung, die links steht mit -2 multipliziert wird. Meinetwegen kannst du auch durch \(-\frac{1}{2}\) dividieren, wenn dir das lieber ist.   ─   cauchy 18.07.2021 um 23:34

Achso auf der anderen Seite jetzt habe ich es verstanden, Sorry sowas dummes stand total auf dem Schlauch... Zuviel Mathe heute gemacht reicht dann auch mal langsam trotzdem Danke für deine Geduld haha   ─   user31f287 19.07.2021 um 00:25

aber -2 * e^x ist doch -2e^x und e ^-2x ??? oder gobts da ne regel?   ─   user31f287 19.07.2021 um 11:41

Wo kommt bei dir die \(-2\mathrm{e}^{-x}\) denn her? Schau den Kommentar oben, rechte Gleichung. Darauf wendest du die \(\mathrm{e}\)-Funktion an.   ─   cauchy 19.07.2021 um 16:58

okay meine endgültige Lösung ist jetzt y = (e-^2x * c -1)/-2   ─   user31f287 19.07.2021 um 17:39

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Es geht auch mit dem Ansatz für lineare DGL mit konstanten Koeffizienten.
Charakter. Polynom: \(\lambda +2=0 \Rightarrow \lambda = -2 \Rightarrow y_h=c*e^{-2x}\) als homogene Lösung.
Partikuläre Lösung: Ansatz \(y_P=a \Rightarrow 2a=1 \Rightarrow a={1\over 2} \Rightarrow y=y_h+ y_P\)
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