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Aufgabe:
Bei einer Übung sollen die Studierenden in Gruppen eingeteilt werden.
Es geht sich leider nicht aus, dass alle Gruppen gleich groß sind.
Mögliche Varianten sind
- Zwei Sechser-Gruppen und sonst alles Fünfer-Gruppen,
- eine Siebener-Gruppen und sonst alles Sechser-Gruppen, oder
- zwei Achter-Gruppen und sonst alles Siebener-Gruppen.
Wieviel Teilnehmer hat die Lehrveranstaltung mindestens?
Problem:
Hallo!
kann mir hier vielleicht jemand schnell weiterhelfen?
Ich habe hier folgendes probiert:
T - Teilnehmeranzahl
x - Anzahl der Gruppe1
y - Anzahl der Gruppe2
Nun habe ich versucht eine kleine Gleichung aufzustellen:
>> T = x * Gruppe1 + y * Gruppe2 <<
Ich setze von oben nun ein:
1.) T = 2 * 6 + y * 5
2.) T = 1 * 7 + y * 6
3.) T = 2 * 8 + y * 7
Nun heben wir hier da y bei allen Gleichungen hier heraus:
1.) y = (T - 12) / 5
2.) y = (T - 7) / 6
3.) y = (T - 16) / 7
Das heißt wenn wir dieses umgeformte y nun in die vorherige Gleichung einsetzen erhalten wir:
1.) T = 12 + ((T - 12) / 5) * 5
2.) T = 7 + ((T - 7) / 6) * 6
3.) T = 16 + ((T - 16) / 7) * 7
Ab hier komme ich nicht mehr weiter, denn T kann ich bei dieser Gleichung nicht wirklich herausheben.
Habe schon alles mögliche probiert und umgeformt, aber schlussendlich kam ich dann auf eine Teilnehmerzahl,
die auf zwei Aussagen zutraf, aber für eine Aussage nicht.
Wie soll ich hier am Besten weiter vorgehen? :-)
Punkte: 23
\(x = a_1\) (mod \(m_1\))
...
\(x = a_n\) (mod \(m_n\))
lösen kann, wenn die \(m_i\) teilerfremd sind.
Definiere für \(i=1,...,n\)
\(M_i = \frac{m}{m_i}\) wobei \(m\) das Produkt aller \(m_i\) ist.
Weil die \(m_i\) teilerfremd sind, sind auch jeweils \(m_i\) und \(M_i\) teilerfremd und man findet ein modulares Inverses \(y_i\) von \(M_i\) mod \(m_i\) d.h. eine Zahl \(y_i\) s.d.
\(M_i \cdot y_i\) durch \(m_i\) den Rest 1 gibt.
Dann ist \(x = \sum_{i=1}^n a_i \cdot M_i \cdot y_i\) eine Lösung des Systems. (Die kleinste Lösung ist dann \(x\) mod \(m\)) ─ oceanic 27.04.2021 um 17:06
Zwei Sechsergruppen und sonst Fünfergruppen heisst, man könnte auch zwei Fünfergruppen mehr bilden und es würden 2 Leute übrig bleiben d.h. \(x=2\) (mod 5). Mit gleicher Überlegung hat man \(x=1\) (mod 6) und \(x=2\) (mod 7).
5, 6 und 7 sind teilerfremd und man kann den Satz anwenden. \(m\) wäre hier z.B.5*6*7 = 210. ─ oceanic 27.04.2021 um 17:21
Das heißt jetzt folgendes:
m = 210 (5*6*7)
M1 = 210 / 5 = 42
M2 = 210 / 6 = 35
M3 = 210 / 7 = 30
[x1 * 42] mod 5 = [1] ---> x1 = 3
[x2 * 35] mod 6 = [1] ---> x2 = 5
[x3 * 30] mod 7 = [1] ---> x3 = 4
(2 * 3 * 43) + (1 * 5 * 35) + (2 * 4 * 30) = 667
667 - (3 * 210) = 37
Resultat: 37 Teilnehmer
Ist das bisher so korrekt?
─ user30bf1e 27.04.2021 um 18:53
z.B. \(y_1\)
Es soll gelten \(42 \cdot y_1=1\) (mod 5)
bzw. (Da 42 mod 5 = 2)
\(2 \cdot y_1=1\) (mod 5)
(Mit \(M_i\) mod \(m_i\) rechnet's sich, um die \(y_i\) raus zu finden, deutlich einfacher anstatt direkt \(M_i\))
Diese Inverse kriegt man einfach durch Ausprobieren. Man geht also die 2er-Reihe entlang bis der Rest durch 5 1 gibt.
\(1 \cdot 2 = 2=2\) (mod 5)
\(2 \cdot 2 =4= 4\) (mod 5)
\(3 \cdot 2 = 6=1\) (mod 5)
\(y_1\) ist also 3. ─ oceanic 27.04.2021 um 19:19
Btw. hab noch etwas korrigiert da oben ─ user30bf1e 27.04.2021 um 19:26
Nerven gekostet. Ich danke Dir vielmals für Deine Geduld und Deiner Hilfsbereitschaft!
Jetzt kann ich wieder entspannt den Alltag genießen :-) ─ user30bf1e 27.04.2021 um 19:55