Lineare Abbildung injektiv, wenn $h^{-1}(\{0\}) = \{0\}$

Erste Frage Aufrufe: 93     Aktiv: 21.11.2021 um 19:10

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Hallo, ich habe eine Abbildung $h: {R} \rightarrow {R}$ gegeben, die die Eigenschaft der Linearität erfüllt, also:
$$ \forall a,b,c \in {R}: h(a*b+c) = a*h(b) + h(c)$$
Zu zeigen ist, dass die Abbildung $h$ genau dann injektiv ist, wenn $h^{-1}(\{0\}) = \{0\}$ ist und, dass die Funktion dann auch surjektiv sei.
Ich kenne die Definitionen von der Injektivität/Umkehrabbildung und weil das eine Äquivalenz sein soll, muss man sicher Hin- und Rückrichtung zeigen, aber mir fehlt für beides halt irgendwie der Ansatz. Hat da vielleicht jemand einen zündenden Funken für mich?
~Alex
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Punkte: 10

 

Du willst zeigen, das der Kern leer ist (d.h. nur aus dem trivialen Element besteht) $\iff$ $h$ ist injektiv.

$\implies$: Sei $h$ injektiv. Was gilt dann? Nutze anschließend Linearität.
$\impliedby$: Sei $\ker h = 0$. D.h. es wird nur das triviale Element durch $h$ auf die Null geschickt. Nimm an $h$ wäre nicht injektiv und führe das zum Widerspruch.
  ─   zest 21.11.2021 um 16:38

Hallo zest, danke für deine schnelle Antwort,
leider haben wir den Kern einer Abbildung noch nicht eingeführt, weswegen ich den nicht benutzen darf. Gibt es dazu einen analogen Lösungsweg, der nicht den Kern einer Abbildung voraussetzt?
  ─   alex_m32pt 21.11.2021 um 16:59

Achso, ja das ist garkein Problem. Der Kern ist einfach nur die Menge $h^{-1}(\{0\})$.   ─   zest 21.11.2021 um 17:00

Wenn eine Abbildung injektiv ist, dann gilt:
Für alle $y \in Y$ existiert höchstens ein $x \in X$, sodass $h(x) = y$ gilt, oder wenn man das ganze etwas umformuliert:
$$ \forall x_1,x_2 \in X: h(x_1) = h(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2$$
Das ist ja nun die allgemeine Definition von Injektivität, was ich jetzt aktuell noch nicht verstehe, wie ich diese Definition mit der Definition der Linearität in Einklang bekomme, bzw wie ich sie anwenden kann.
  ─   alex_m32pt 21.11.2021 um 17:36

Genau, sei also $h$ injektiv und sei $h(x_1) = h(x_2)$ für zwei beliebige $x_1,x_2\in \mathbb R$. Jetzt überleg dir, wie du mit Hilfe der Linearität folgern kannst dass $h^{-1}( \{0\}) = \{0\}$ gilt.   ─   zest 21.11.2021 um 17:43

Sei also $h$ injektiv mit $h(x_1) = h(x_2)$, dann folgt daraus:
$$ h(x_1) = h(x_2) |-h(x_2)\iff h(x_1) - h(x_2) = 0 \iff - h(x_2) + h(x_1) = 0$$
Jetzt nehme ich mir die Def der Linearität und zaubere aus $- h(x_2) + h(x_1) = 0$ ein $h(-x_2+x_1) = 0 $
Jetzt bin ich ja schon recht nah an dem was ich zeigen möchte. Jetzt müsste ich irgendwie eine begründete Folgerung aus $h^-1(\{0 \}) = \{0 \} $ ziehen, damit ich weiter machen kann. Spontan hätte ich gesagt, aus: $h^-1(\{0 \}) = \{0 \} $ folgt: falls $h(x) = 0$ dann ist auch $x=0$, aber ich kann das irgendwie nicht wirklich begründen.
  ─   alex_m32pt 21.11.2021 um 18:17

Versuch's so: $h(x_1) = h(x_2) \iff h(x_1)-h(x_2) = 0 \iff h(x_1-x_2) = 0$. Nach Voraussetzung war $h$ injektiv. Was folgt dann?   ─   zest 21.11.2021 um 18:21

aaaaah. Ja das ist schlau. Wenn h injektiv ist, dann gilt für jedes $x_1,x_2$ mit $x_1=x_2$ : $h(x_1-x_2)=0 \iff h(0)=0$ und das ist was wir zeigen wollten.

Jetzt die Rückrichtung:
$h^-1(\{0 \})=0 \Rightarrow$ h ist injektiv. wenn wir $h(0)$ betrachten, ist das gleich mit $h(1*0+0)$, dann ist das laut Def der Linearität das selbe wie $1*h(0)+h(0)= 2*h(0)$, also wäre $h(0) = 2*h(0)$ und diese Aussage kann nur wahr sein, wenn $h(0)=0$ ist
Du meintest oben noch, dass man beim Beweis der Rückrichtung einen Wiederspruch führen kann/soll, aber ich weiß jeztz nicht ganz, wo ich das machen kann
  ─   alex_m32pt 21.11.2021 um 19:01

Ja genau, der erste Teil sieht sehr gut aus.

Zum zweiten Teil: Sei $h^{-1}(\{0\}) = 0$ und jetzt nimm an $h$ wäre nicht injektiv. Dann existieren $x_1,x_2\in \mathbb R$ mit $x_1\not= x_2$, so dass $h(x_1) = h(x_2)$. Überleg dir nun, weshalb das zum Widerspruch führt.
  ─   zest 21.11.2021 um 19:10
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