Es geht um einen Beweis mit vollständiger Induktion

Aufrufe: 534     Aktiv: 05.03.2022 um 12:46
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Zu beweisen ist, dass
                                       2n+1 <= n^2<=2^n              für alle N>=4.

Induktionsanfang 2*4+1=9<=4^2=16=2^4
Induktionsschritt ZU zeigen ist 2(n+1)+1 <= (n+1)^2<=2^n+2          

Es ist
     2(n+1)+1 = 2n+3= 2n+1+2<=n^2+2 (mit Induktionsannahme)hier verstehe ich die +2 auf der rechten Seite nicht.                                                                                                                                                                                        
                           <=n^2+2+(2n-1)   ( da n>=4 ist 2n-1>=0) Weshalb die UGL hier so ist, ist mir unklar.
                             =n^2*2n+1=(n+1)^2   ist klar
also ist   2(n+1)+1<=(n+1)^2.   Weiter ist
                   (n+1)^2=n^2+2n+2+1<=2^n+2n+1    (mit Induktionsnannahme) ist mir nicht klar.
                               <=2^n+2^n   ( wieder mit induktionsnannahme 2n+1<=2^n)  ist mir klar
                               = 2*2^n= 2^n+1  auch klar.

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wenn ich jetzt hier mit 2 Dollarzeichen beginne, dann passiert garnichts und ich weiß, das an der Fernuni auch nur ein paar Sudenten das mit latex machen. Aber du musst dich ja mit meinen Fragen nicht befassen, oder du kannst mir ganz genau erklären, welch Schritte vorab notwendig sind, damit ich mit $$ beginnend hier im Kommentar Latex zu benütze.   ─   atideva 04.03.2022 um 16:28
Bis dahin ist allerdings noch etwas Zeit. So wie du dich verstehe, müsste es also wie folgt funktionieren: ich beginne mit $$, dann kommt die Programmierung der Symbole und dann kommt wieder $$ und dann müsste man nur die mathematischen Symbole mit entsprechenden Zahlen sehen und die Programmierung selbst nicht. Also zum Beispiel $$\sum{a,b}\sum{a,b}. Was ist nun zu tun, daß die Programmierung nicht , stattdessen die gewünschten Symbole zu sehen sind.   ─   atideva 04.03.2022 um 17:07
Und natürlich zum Schluss auch $$.   ─   atideva 04.03.2022 um 17:20
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Du wendest jeweils die Induktionsannahme auf einen der Summanden an und schätzt diesen Teil ab. Der Rest bleibt doch stehen. Angenommen es gilt $a<b$, dann ist doch auch klar, dass $a+c<b+c$. Mehr passiert da nicht. Das glwiche gilt, wenn du etwas positives addierst. Dann gilt stets $a<a+c$ für $c>0$.
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Das ist für mich tatsächlich eine neue Sichtweise bei der Vollständigen Induktion. Ich habe das bisher so bei Ungleichungen und bei dazugehörigen Musterlösungen noch nicht gesehen.   ─   atideva 04.03.2022 um 17:18
Es ist für mich eine neue Sichtweise, dass bei der Vollständigen Induktion so ziemlich alles vorkommen kann.   ─   atideva 05.03.2022 um 12:43
Das war mir vorher nicht klar, also sehe ich das jetzt neu, wie ich nochmals betont habe.   ─   atideva 05.03.2022 um 12:46

Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden. Cauchy wurde bereits informiert.