Sei \(\lim\limits_{n\to\infty}X_n=X\). Angenommen \(\lim\limits_{n\to\infty}||X_n||>||X||\). Dann gilt
\(\lim\limits_{n\to\infty}||X_n-X||\geq\lim\limits_{n\to\infty}||X_n||-||X||>0\).
Das ist aber ein Widerspruch dazu, dass \(X_n\) gegen \(X\) konvergiert.
Falls nun \(\lim\limits_{n\to\infty}||X_n||<||X||\) so folgt analog:
\(\lim\limits_{n\to\infty}||X_n-X||\geq||X||-\lim\limits_{n\to\infty}||X_n||>0\).
Also muss \(\lim\limits_{n\to\infty}||X_n||=||X||=||\lim\limits_{n\to\infty}X_n||\) gelten.
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