Induktion bei Ungleichung, ich verstehe diese Musterlösung nicht.

Aufrufe: 638     Aktiv: 05.10.2020 um 16:12
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Hallo,

kann mir jemand diese "Zeichenwüste" verständlich machen?

Bei der binomischen Formel komme ich noch mit. Aber dann bin ich raus.

- Warum wird 2n+1 zu 2n+3 addiert?

- Was soll am Ende 2n+10>2n+5, wo ist das n-Quadrat geblieben?

Ich würde das so rechnen:

\( (n+1)^2\geq 2(n+1)+3\\n^2+2n+1\geq 2n+5\\n^2\geq 4 \)

Da wir in N sind und keine negativen Vorzeichen haben, können wir einfach auf beiden Seiten subtrahieren ohne die Ungleichung zu verletzen. Da n größer 2 ist gilt auch n-Quadrat größer 4.

Das Gewusel der Musterlösung kann ich nicht nachvollziehen. Warum die 2n+1 addiert werden ist mir total unverständlich. Warum dann 2n+1 zu 7 wird, die 2n+3 aber nicht zu 9 ist auch so ein Punkt. Aber da vermute ich einfach mal dass man so macht weil man Ende noch ein n in der Ungleichung hätte.

Der zentrale Punkt ist die Addition von 2n+1 zu 2n+3, da bricht meine Welt zusammen.

Schönen Rest-Sonntag,

Stephan

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Dein Beweis ist ok, der kommt sogar ohne die Induktionsannahme aus. Man braucht für den ganzen Beweis auch eigentlich keine Induktion.

Aber die Idee ist wohl, die Induktion an einem einfachen Beispiel zu üben.

Es gilt \((n+1)^2 = n^2+2n+1 \ge  \) denn nach Ind.Ann. ist \(n^2\ge 2n+3\)

\(\ge 2n+3+2n+1   \) ab hier ist Quadrat weg.

Es wäre auch richtig, \(2n+3\ge 9\) zusätzlich einzubringen, aber dann sind alle n weg und man kommt nicht mehr auf 2n+5.

Es geht hier nicht um wundersame Zahlenverwandlung ("aus ... wird ..."), sondern um Abschätzungen. Das ist die Anwendung der Regel: \(a\ge b \Longrightarrow a+c\ge b+c\). Heißt: Wenn man in einer Summe einen Summanden durch was kleineres ersetzt, wird die ganze Summe kleiner.Diese Technik kommt sehr oft (beim Beweisen mit Induktion, von Konvergenz u.a.) Mit deiner Methode von Äquivalenzumformungen kommt man oft nicht durch (und wenn ja, dann mit viel mehr Schreibarbeit)..

Alles klar?

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"Abschätzungen. Das ist die Anwendung der Regel: a≥b⟹a+c≥b+c."
Ah, die Folgen und Reihen sind auch ein Rätsel für mich. Aber mit dem Hinweis hat es wohl geklickt, hoffe ich.

Für n_0 rechnen wir vor dass das gilt. Inkrementiere ich nun n_0 wird links 2n+1 addiert. Und deswegen mache ich damit die Abschätzung für die Inkrementierung der rechten Seite. Und dann sehe ich, dass das tatsächlich so ist.

Danke   ─   stehgold 04.10.2020 um 17:47
Der Induktionsanfang, die kleinste Zahl für die die Aussage stimmt. In obigem Beispiel die 3. "Sei n_0 = 3..." Das wird ja explizit vorgerechnet. Und dann wird n+1 daraus.   ─   stehgold 05.10.2020 um 15:42
Dass meine ich ja. Deswegen kommt in der Abschätzung dann der +1-ste Teil zu n dazu. Für n ist das 2n+3, was wir an n_0 gezeigt haben. Mit der Abschätzung zeigen wir, dass das dann locker für alle n passt.   ─   stehgold 05.10.2020 um 16:10

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