Einführung in die Polynomfunktion. Habe paar Fragen...

Aufrufe: 609     Aktiv: 27.11.2021 um 19:12

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Guten Tag,

ich habe bisher noch gar nichts mit Polynomfunktionen gemacht und da stell ich mir gleich einige Fragen:

  1. Was können Polynome was Parabeln nicht können?
  2. Können Polynomfunktionen Parabeln sein, aber Parabeln nicht Polynomfunktion, wieso werden dann Parabeln nicht als Polynom bezeichnet?
  3. Was habe ich zu beachten bei den unterschieden zwischen Polynomen und Parabeln? 
  4. Sind Polynome und Parabeln sehr ähnlich, also werde ich es leicht haben Polynome zu lernen oder ist das ein komplett neues Thema? 
Ich denke diese Fragen sind sehr wichtig für mich. Ich werde das dann bald kommend intensiv dieses Thema: Polynomfunktion, auf Mathefragen.de mit den Helfer/innen bearbeiten und dann in naher Zukunft hoffentlich abschließen.

Mit freundlichen Grüßen!
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2 Antworten
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1.) Polynome haben viele besondere analytische und algebraische Eigenschaften, zum Beispiel kann man eine große Klasse von Funktionen mit Polynomfunktionen darstellen (z.B. sinus, cosinus, exp). Auch kann man Polynomfunktionen besonders einfach differenzieren und integrieren, weshalb sie sehr gerne zur Modellierung benutzt werden. Generell kann man mit Polynomen sehr viele Sachverhalte modellieren. Die algebraischen Eigenschaften halte ich jetzt aber offen, da diese wahrscheinlich zu weit gehen und in der Schule aus irgendeinem Grund Polynome Stoff der Analysis sind...

2.) siehe Antwort von @lernspass 

3.) Alles,  was für Polynomfunktionen gilt, gilt auch für quadratische Funktionen,  aber eben nicht umgekehrt. Quadratische Funktionen sind spezielle Polynomfunktionen (siehe 2.)

4.) Das kommt auf deinen Kontext. Du kannst Polynomfunktionen einfach nur als eine Erweiterung von quadratischen Funktionen sehen. Streng genommen gibt es sogar einen Unterschied zwischen Parabeln und quadratischen Funktionen. Der Graph jeder quadratischen Funktion ist zwar eine Parabel, aber nicht jede Parabel kann als quadratische Funktion dargestellt werden.
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Perfekt Danke!   ─   c_e_k_a_7 27.11.2021 um 12:35

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Hallo mathejean, was meinst du mit "sinus, cosinus, exp mit Polynomfunktionen darstellen"? Vermutlich denkst du hier an Potenzreihen?   ─   tobit 27.11.2021 um 14:36

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Sowohl Geraden als auch Parabeln sind auch Polynomfunktionen. Geraden (lineare Funktionen) sind Polynomfunktionen 1. Grades und Parabeln sind Polynomfunktionen 2. Grades. 

Es sind halt sehr wichtige Polynomfunktionen, weshalb sie noch einmal einen extra Namen bekommen haben.
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okey Danke!   ─   c_e_k_a_7 27.11.2021 um 12:35

Alles klar! :)   ─   c_e_k_a_7 27.11.2021 um 14:04

Die Richtigkeit der Aussage "Parabeln und Geraden sind keine Funktionen, sondern [...] Punktmengen." hängt von der gewählten Grundlegung der Mathematik ab. In naiver oder axiomatischer Mengenlehre definiert man häufig Funktionen als spezielle Punktmengen, nämlich als linkstotale und rechtseindeutige Relationen. In diesem Sinne sind Funktionen und ihre Grafen das Gleiche. In typentheoretischen Grundlegungen der Mathematik hingegen wird wohl eine Funktion und eine Punktmenge von unterschiedlichem Typ sein. In der für Schulen typischen naiven Herangehensweise kann ich mir sowohl eine Unterscheidung zwischen Funktionen und ihren Grafen als auch eine Identifizierung der beiden Objekte vorstellen.   ─   tobit 27.11.2021 um 14:50

Herr Tobit, eines Tages werde ich verstehen was sie geschrieben haben.
Ist ja nicht an mich gerichtet, also sollte das so passen. ;)
  ─   c_e_k_a_7 27.11.2021 um 14:59

@tobit Es ist aber nicht jede Parabel rechtseindeutig. Eine elegante Methode um eine allgemeine Parabel darzustellen wäre durch affine Transformation der Normalparabel.   ─   mathejean 27.11.2021 um 15:06

Hallo cekdo744, du darfst mich ruhig duzen. Für das schulische Verständnis ist eine Funktion f (z.B. eine lineare oder quadratische Funktion) eine Zuordnung, die manchen oder allen Zahlen x eine weitere Zahl f(x) zuordnet, während ihr Graf ein geometrisches Objekt ist (z.B. eine Gerade oder eine Parabel). Dieses geometrische Objekt besteht aus allen Punkten der Form (x|f(x)). Für die meisten Leute ist ein geometrisches Objekt etwas anderes als eine Zuordnung. Andere Leute finden, dass diese beiden Dinge (Funktionen und ihre Grafen) eigentlich nur verschiedene Darstellungen des gleichen Konzepts seien und man daher nicht so genau unterscheiden müsse.   ─   tobit 27.11.2021 um 15:22

@mathjean: Ja, nicht jede Parabel ist der Graf einer Funktion und nicht jede Gerade ist der Graf einer Funktion. Ich hoffe, niemand versteht meine Kommentare gegenteilig.   ─   tobit 27.11.2021 um 15:24

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Ich verstehe nicht wieso andere Menschen denken das dies andere Zuordnung seien müssen? Lernt man das im Studium oder meinen Sie mit geometrischen Objekten, diese als Quadrat, Quader usw. eigentlich Zugeordnet sein müssten bzw., angesehen werden müssten?   ─   c_e_k_a_7 27.11.2021 um 15:33

@cekdo744 Ich bin nicht sicher, ob ich deinen Kommentar richtig verstehe. Möchtest du deine Rückfrage noch einmal mit anderen Worten formulieren?
Beispielsweise die Funktion $f$ mit $f(x)=x^2$ für alle Zahlen $x$ ordnet jeder Zahl $x$ die Zahl $x^2$ zu, also z.B. der Zahl 5 die Zahl $5^2=25$.
Der Graf dieser Funktion ist eine Parabel bestehend aus allen Punkten der Form $(x|x^2)$, also z.B. dem Punkt $(5|5^2)=(5|25)$.
Den Graf von $f$ hast du sicherlich schon in einem Koordinatensystem dargestellt gesehen.
Jedes Quadrat ist ein geometrisches Objekt, das jedoch NICHT der Graf einer Funktion ist.
  ─   tobit 27.11.2021 um 15:45

Ja, meinte ich ja. Das hat sich geklärt, ein "ja" hätte ausgereicht. Das war keine Rückfrage sondern eher ein: "habe ich das jetzt richtig verstanden?" Wie gesagt hat sich geklärt, Danke!   ─   c_e_k_a_7 27.11.2021 um 15:55

@cauchy Ich hoffe, dass niemand durch meine (auf Schulniveau notwendigerweise sehr unpräzise!) Erklärung, was eine Funktion sein soll, auf die Idee kommt, der gleichen Zahl $x$ mehrere Zahlen zuzuordnen und jede einzelne diese Zahlen gleichzeitig mit $f(x)$ zu bezeichnen. Das wäre etwa so, als würde ein Schüler auf die Aufforderung "Nenne mir eine beliebige Zahl" mit "5, 27 und 32" antwortet, weil der Lehrer nicht nach "GENAU einer beliebigen Zahl" gefragt hat. Du findest sicherlich in vielen mathematischen Lehrbüchern Formulierungen wie: "Sei a eine reelle Zahl." Natürlich meint der Autor dann damit, dass $a$ GENAU eine reelle Zahl sein soll; alles andere wäre ja auch reichlich sinnlos. In diesem Sinne ist auch meine Erklärung des Funktionsbegriffs gemeint gewesen.   ─   tobit 27.11.2021 um 19:12

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