Senkrechtraum/orthogonales Komplement ist ein UVR

Aufrufe: 402     Aktiv: 15.11.2022 um 19:43
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Hallo,
ich habe eine Aufgabe, bei der ich Unterstützung benötige.
Für einen \( K \)-Vektorraum \( V \) und eine Teilmenge \( A \subset V^{*} \) sei der Senkrechtraum zu \( A \) definiert als
\(A^{\perp}:=\{\mathbf{v} \in V \mid \phi(\mathbf{v})=0 \text { für alle } \phi \in A\} .\)
Ich soll zeigen, dass \( A^{\perp} \subset V \) ist ein Untervektorraum ist.

Habe mich ein wenig in der Literatur umgeschaut und da wird das orthogonale Komplement auch überall mit dem Skalarprodukt definiert, also \(A^{\perp}:=\{\mathbf{x} \in V \mid <x,y>=0 \text { für alle } y \in A\}\). Mit dieser Definition habe ich auch gar keine Probleme die Eigenschaften einen UVRes nachzuweisen.
Leider gelingt es mir nicht wirklich dieses Wissen auf die mir vorliegende Definition anzuwenden. Beispiel: Sei $0 \in V$, dann gilt $\forall y \in A: <0,y>=0$ nach Definition vom Skalarprodukt, also $0 \in A^{\perp}$. Weiß halt einfach nicht, wie ich das mit diesem ominösen $\phi$ machen soll.

Was ich mich auch irgendwo frage, inwiefern der Dualraum mit der Orthogonalität/dem Skalarprodukt zusammenhängt. Das ist mir noch nicht klar geworden.
Würde mich über jede Form der Hilfe freuen.
~Miguel
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Das $\phi$ wird irgendwo definiert sein. Schau mal im Skript nach.   ─   cauchy 15.11.2022 um 17:58
\(\phi\) ist lineare Form nach Aufgabe!   ─   mathejean 15.11.2022 um 18:16
@Cauchy der Senkrechtraum wurde nur für diese Aufgabe auf dem Arbeitsblatt eingeführt, eine Definition in unserem Skript gibt es nicht. Die Aufgabe ist so 1 zu 1 übernommen, mehr Informationen liegen nicht vor.

@mathejean du schlägst also vor:
(i) $\phi (0)=0 \quad \forall \phi$, wegen Linearität $\Rightarrow 0 \in A^{\perp}$
(ii) $v,w \in A^{\perp} \Rightarrow \phi(v)=0, \phi(w)=0 \Rightarrow \phi (v)+ \phi(w)=0 \Rightarrow \phi(v+w)=0 \Rightarrow v+w\in A^{\perp} \quad\forall \phi$
(iii)$\alpha \in K, v \in A^{\perp} \Rightarrow \alpha \cdot \phi(v)=0 \Rightarrow (\alpha \phi)(v)=0 \Rightarrow \alpha \cdot \phi \in A^{\perp} \quad \forall \phi$

Sollte das deine intendierte Idee gewesen sein, dann hat sie geholfen

   ─   miguel 15.11.2022 um 18:43
Ja so es ist eine richtige Lösung, sehr gut! Ich habe unten noch eine einfachere Möglichkeit gezeigt ohne nachrechnen. PS: ich habe Zusammenhang von Skalarprodukt und Dualraum ergänzt   ─   mathejean 15.11.2022 um 18:50
Super danke für deine Hilfe. Bilinearformen hatten wir noch nicht eingeführt, kann ich mir in dem Kontext aber mal anschauen.   ─   miguel 15.11.2022 um 19:43
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Es ist für jede lineare Form \(\phi(0)=0\), was ist das Problem? Man kann Aufgabe einfacher lösen ohne Axiome zu rechnen. Betrachte dazu die Abbildung \(\Phi:V \to K^A, v \mapsto (\phi(v))_{\phi \in A}\). Es ist \(\ker  \Phi= A^{\perp}\).

Ich werde kurz Zusammenhang von Skalarprodukt und Dualraum zeigen: Sei \(\beta\) eine Bilienarform auf \(V\times W\)


$$\beta_L : V \to W^*, v \mapsto [w \mapsto \beta(v,w)]$$ Analog es gibt auch \(\beta_R\). Wir haben einen Isomorphismus 

$$\operatorname{BLF(V,W)} \to \operatorname{Hom}(V, W^*), \beta \mapsto \beta_L$$

Isomorphismus sagt das Skalarprodukt = lineare Abbildung von V -> V* (natürlich noch ein paar Axiome müssen gelten)
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