Erzeugendensystem, Span/Erzeugnis, Basis

Aufrufe: 32     Aktiv: 21.02.2021 um 21:00

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Hey:)
Kann mir einer erklären, was der Unterschied ist zwischen einer Basis, einem Erzeugendensystem und dem Span/ Erzeugnis.
Den Unterschied zwischen einer Basis und einem Erzeugendensystem habe ich verstanden (Basis muss linear unabhängig sein), aber mit dem Span habe ich so meine Probleme...
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Student, Punkte: 35

 

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1 Antwort
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Sei \(V\) ein \(K\)-Vektorraum und \(A\subseteq V\) eine Menge von Vektoren. Dann ist das Erzeugnis \(\langle A\rangle\) der kleinste Untervektorraum von \(V\), der \(A\) enthält, ausgeschrieben ist $$A=\left\{\sum_{i=1}^n\lambda_ia_i\ {\huge|}\ n\in\mathbb N,\lambda_i\in K,a_i\in A\ (1\leq i\leq n)\right\}$$ die Menge aller Vektoren, die sich als Linearkombination von endlich vielen Vektoren aus \(A\) schreiben lässt. \(A\) ist dann logischerweise ein Erzeugendensystem von \(A\). Ist z.B. \(V=\mathbb R^2\) und \(A=\binom10\), dann ist \(\langle A\rangle=\langle\binom10\rangle=\left\{\lambda\binom10\ |\ \lambda\in\mathbb R\right\}\) sozusagen die \(x_1\)-Achse.
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Danke für die Antwort!
Den Unterschied habe ich aber immer noch nicht so genau verstanden... Ist der Span dann gleichzeitig auch ein Erzeugendensystem?
  ─   algebrafuchs 21.02.2021 um 20:56

Nein, das Erzeugendensystem in meinem Beispiel ist der Vektor \(\binom10\), der Span ist die unendliche Menge \(\{\binom\lambda0\ |\ \lambda\in\mathbb R\}\) der Vektoren, die ein Vielfaches von \(\binom10\) sind.   ─   stal 21.02.2021 um 20:58

Achso, jetzt habe ichs verstanden, dankeschön:)!   ─   algebrafuchs 21.02.2021 um 21:00

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