Integrale bestimmen

Aufrufe: 180     Aktiv: 29.05.2022 um 17:13

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Hallo alle!

Wir haben in der Übungsstunde folgende Aufgabe berechnet. Ich kann aber die Schritte gar nicht nachvollziehen. Wir haben hier nichts integriert, sondern nur eingesetzt. Aber wieso? Könnt ihr mir erklären, wie man da genau vorgegangen ist? 

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3 Antworten
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Man setzt allgemein $f(x)=(f_1\circ f_2)(x)\cdot f_2'(x)=f_1(f_2(x))\cdot f_2'(x)$. Das ist aber nichts anderes als die Kettenregel, so dass $F(x)=F_1(f_2(x))$ (prüfe das mal durch Ableiten von $F$) gilt. Wenn man sich jetzt das konkrete $f$ anschaut, sieht man, dass es mit den gewählten Funktionen $f_1$ und $f_2$ genau die obige Gestalt hat, so dass man nur die Stammfunktion von $f_1$ braucht (was sehr einfach ist) und $f_2$ mit den passenden Grenzen dort einsetzt. Ansonsten wird hier nur der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung benutzt.
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Selbstständig, Punkte: 23.2K

 

@Downvoter: Was für ein kindisches Verhalten, Downvotes zu verteilen, weil die eigene Antwort einen erhalten hat... Aber ist ja bekannt, dass du mir Downvotes reindrückst, ohne plausible Begründung, war ja früher schon so. ;)   ─   cauchy 27.05.2022 um 15:27

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wer verteilt denn hier bitte Downvotes? … da meiner Meinung nach beide Antworten die Frage angemessen beantworten, obliegt es mir ja ein Upvote zu geben   ─   maqu 27.05.2022 um 19:50

@Cauchy, ich versteh' das immer noch nicht. Wie kommt man überhaupt auf F? Ich stehe momentan auf der leitung. Also wenn ich die Ableitung von der obigen Funktion bilde kommt 2*cos^2(x)*sin(x) -sin^2(x) heraus. Was hilft mir das jetzt   ─   anonym 29.05.2022 um 10:45

Du suchst ja nicht die Ableitung. Beim Integrieren leitet man auf. Es ist also klar, dass dir das gar nicht weiterhilft. Wie man auf $F$ kommt, habe ich doch erklärt: man nutzt hier die Kettenregel rückwärts. Und die Kettenregel ist ja "äußere mal innere Ableitung". Vielleicht wird es deutlicher, wenn man die Bezeichnungen ändert: Wenn man $f(x)=a(i(x))\cdot i'(x)$ schreibt (hierbei sei $a$ die äußere und $i$ die innere Funktion), dann liegt $f$ ja gerade in der Form "äußere mal innere Ableitung vor", das bedeutet aber nichts anderes, als dass die Stammfunktion die Verkettung $F(x)=A(i(x))$ ist, wobei $A'(x)=a(x)$ gilt, weil $A(x)$ eine Stammfunktion von $a(x)$ ist. In deinem Beispiel ist nun $f_1(u)=u^2$ die äußere und $f_2(u)=\sin(u)$ die innere Funktion.   ─   cauchy 29.05.2022 um 17:13

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wenn du die Funktion \(\sin^3x\) ableitest (Kettenregel) erhältst du \( 3* \sin^2x*\cos x\)
Daraus folgt \(F(x)={\sin^3 x \over3}\) ist Stammfunktion von \(f(x)=\sin^2 x *\cos x\).
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Ja, aber was hilft mir das jetzt? Warum ist das für die Aufgabe relevant? Ich versteh den Sinn dahinter immer noch nicht.   ─   anonym 27.05.2022 um 11:47

wenn du die Stammfunktion hast, musst du nur noch \(F({\pi \over 2}) -F(0)\) berechnen.   ─   scotchwhisky 27.05.2022 um 12:18

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Es gibt Intergralrechner, die dir den ganzen Rechenweg zeigen. Anhand dessen man es gut nachvollziehen und verstehen kann. Aebr bitte mach danach übugnen selbst und kontrolleire dich mit dem Rechner. Viele Grüße
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