Man setzt allgemein $f(x)=(f_1\circ f_2)(x)\cdot f_2'(x)=f_1(f_2(x))\cdot f_2'(x)$. Das ist aber nichts anderes als die Kettenregel, so dass $F(x)=F_1(f_2(x))$ (prüfe das mal durch Ableiten von $F$) gilt. Wenn man sich jetzt das konkrete $f$ anschaut, sieht man, dass es mit den gewählten Funktionen $f_1$ und $f_2$ genau die obige Gestalt hat, so dass man nur die Stammfunktion von $f_1$ braucht (was sehr einfach ist) und $f_2$ mit den passenden Grenzen dort einsetzt. Ansonsten wird hier nur der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung benutzt.

wenn du die Funktion \(\sin^3x\) ableitest (Kettenregel) erhältst du \( 3* \sin^2x*\cos x\)
Daraus folgt \(F(x)={\sin^3 x \over3}\) ist Stammfunktion von \(f(x)=\sin^2 x *\cos x\).

Es gibt Intergralrechner, die dir den ganzen Rechenweg zeigen. Anhand dessen man es gut nachvollziehen und verstehen kann. Aebr bitte mach danach übugnen selbst und kontrolleire dich mit dem Rechner. Viele Grüße