Aus meiner Sicht ist der Beweis fast ok. Jedenfalls bis dass supA*supB obere Schranke ist. Das mit der kleinsten ob Schranke verstehe ich nicht. Ich würde so argumentieren, denn es geht ja um Grenzwerte:

Sei a_n, b_n konv. Folgen in A bzw. B, Dann gilt: a_n*b_n <= supA*supB für alle n (s.o., Dein Beweis). Dann gilt das auch für die Grenzwerte: lim (a_n * b_n) <= supA*sub.B. Und damit sup(A*B) <= subA*supB.

Beachte, dass sup(A*B) nicht in A*B liegen muss.

Nebenbei: Die Behauptung schreibt man nicht unter "es gilt" hin, denn die gilt ja (noch) nicht. Das vermeidet Verwechslungen beim Beweisen.