Zahlenfolge zeigen

Aufrufe: 131     Aktiv: 14.10.2021 um 14:20

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Ich komme mit dieser Aufgabe überhaupt nicht weiter, wenn jemand mir erklären könnte, wäre sehr hilfreich :) 


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gefragt

Student, Punkte: 14

 

Hast du dir mal die ersten paar Folgenglieder angeschaut? Da kommt \( 0^2, 1^2, 1^2, 2^2, 3^2, 5^2, 8^2, 13^2, \dots \) raus. Kommst du damit auf einen Ansatz?   ─   anonym83bed 13.10.2021 um 20:31

eigentlich nicht
  ─   joker 13.10.2021 um 22:28

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auf was bezieht sich dein eigentlich nicht? Dass due die Folgenglieder nie angeschaut hast oder dass du keinen Ansatz hast?
  ─   karate 13.10.2021 um 22:30
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2 Antworten
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Wie oben im Kommentar zu sehen, ergibt sich die Folge $0^2, 1^2, 1^2, 2^2, 3^2, 5^2, 8^2, \dots $ Lässt man die Quadrate weg, sollte einem die Folge $\sqrt{a_n}$ bekannt sein. Das ist die Fibonacci-Folge, die durch die Rekursion $F_{n+1}=F_n+F_{n-1}$ definiert ist mit $F_0=0$, $F_1=1$ und $F_2=1$.

Behauptung: Es gilt $a_n=(F_n)^2$. Das ist hier zu beweisen und geht relativ einfach über vollständige Induktion.
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Selbstständig, Punkte: 12.85K

 

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Die Folge \(b_n=0,1,1,2,3,5,8,12,17,23,...\), deren Quadrate die Folge \(a_n\) ist [siehe anonym83ded] ist die quadratische Funktion \(f(n)=an^2+bn+c\), weil die Differenzen der Differenzen \(b_{n+1}-b_n\) konstant sind. Also ist \(a_n=(b_n)^2\), was mit allerdings großen Aufwand gezeigt werden kann!
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Lehrer/Professor, Punkte: 4.62K

 

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1. Die Folge $b_n$ ist falsch.
2. Wenn man weiß, dass die $b_n$ eine quadratische Funktion bilden, warum gibt man die Parameter nicht an?
3. Die Differenzen der Differenzen $b_{n+1}-b_n$ ist nicht konstant. Punkt 2 ist damit also hinfällig.
4. Wenn du aus den vorherigen Punkten bereits gefolgert hast, dass $a_n=(b_n)^2$ ist, wo muss dann noch etwas mit großen Aufwand gezeigt werden?

Fazit: Unbrauchbare Antwort.
  ─   cauchy 14.10.2021 um 13:02

Die Differenzen der Differenzen \(b_n-b_{n-1}\) sind für \(n>=5\) konstant und es gilt demnach \(b_n=0,5n^2-2,5n+5\)
Es muss natürlich noch gezeigt werden, dass \(a_{n+2}+a_{n-1}=2(a_{n+1}+a_n)\) auch für \((b_n)^2\) gilt!!
ich würde mich freuen, wenn du einen brauchbaren Vorschlag zur Lösung des Problems hast
Versuch es mal; dann weißt du, was ich unter "großen Aufwand" verstehe!

  ─   gerdware 14.10.2021 um 14:05

Die Antwort habe ich bereits gegeben. Der Induktionsbeweis ist eine Sache von 5 Minuten, wenn man weiß, was man tut.

Nach deiner Formel ist $b_0=5$, $b_1=3$, $b_2=2$, $b_3=2$ usw. Das passt also vorne und hinten nicht.
  ─   cauchy 14.10.2021 um 14:18

Ich muss Cauchy recht geben. Ich glaube, du hast hier mit falschen Folgengliedern gearbeitet. Es sollten eigentlich die Quadrate der Fibonacci-Zahlen rauskommen.   ─   anonym83bed 14.10.2021 um 14:20

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