Deine umgangsprachliche Formulierung ist nicht richtig. Hier gilt es genau(!) zu lesen, von links nach rechts, und nichts wegzulassen. Du hast dabei den 2. und 3. Quantor vertauscht.

Die umgangsprachlich formulierte Aussage ist offensichtlich falsch.

Die Originalaussage ist wahr. Das begründet man aber nicht mit einem Beispiel, sondern mit einem Beweis, oder einer allgemeinen Begründung. Allgemein, weil ja etwas für alle(!) \(x,y\) ausgesagt wird. Wenn \(x>0\) ist, muss also \(z>\frac{y}x\) sein. So ein \(z\) gibt es aber, weil die ganzen Zahlen beliebig groß werden. Den Fall \(x<0\) kriegst Du sicher alleine hin.