Eigenwerte und Eigenvektoren bestimmen

Aufrufe: 960     Aktiv: 29.10.2020 um 11:47
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Wie bestimme ich die Eigenwerte der Matrix A in Nr 1.?

Ich habe bereits mit Lambda diagonalisiert und dann die Determinante gebildet. Daraus habe ich dann die Nullstellen berechnet.

Allerdings bekomme ich für diese 4x4 Matrix nur 2 Nullstellen heraus. Diese wären x1= 0,  x2=1. 

Benötige ich für eine 4x4 Matrix nicht 4 Eigenwerte ?

 

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Du hättest auch die erste und letzte Zeile umdrehen können .
Dann würde die matrix wie folgt aussehen:

0001
0200
0010
0001
Damit hast du dann eine obere dteiecksmatrix erzeugt.Dann musst du mit lamda nur nich das charakteristische Polynom bilden und kannst dann die ew ablesen die wären 0,1,2 nur drei weil die 1 zweimal vorkommt.

   ─   lsobczak2108 29.10.2020 um 11:47
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Dein charakteristisches Polynom ist (bis auf das Vorzeichen) korrekt. In der Rechnung solltest Du aber besser Klammern, und zwar \((1-\lambda)\) schreiben. Und ganz am Anfang sollte \(-\lambda\) rechts unten in der Matrix stehen.

Es können durchaus weniger als vier Eigenwerte auftreten; hier sind es drei: 0,1,2. Einer muss also als doppelte Nullstelle auftreten (welcher ist es hier?).

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Um den Faktor  \(1-\lambda\) fehlen Klammern. Wenn man Nullstellen sucht, sollte man sich über diesen Faktor freuen, denn er liefert ja schon ohne Aufwand einen EW. Den multipliziert man dann auch nicht aus. Und der andere Faktor ist die Determinante einer Diagonalmatrix. Daher kann man die EWe schon nach einem Rechenschritt ablesen. Es gibt noch einen EW, und ja, man kommt auf vier, aber mit Vielfachheit gezählt. Daher kann es auch weniger als vier verschiedene geben. 

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