Ich hab (bis jetzt) noch nichts für LK lesbares im Internet gefunden, aber hier die Schritte, wie ich das angehen würde.
Def. a EW einer linearen Abb. f, falls es ein x gibt mit f(x)=a*x. x heißt dann Eigenvektor.
Lineare Abb. von R^n nach R^n beschreibt man mit nxn-Matrizen, und spricht dann auch von EW und EV der Matrix.
Mir geht es hier um die Abb. f. Wenn man diese iteriert (immer wieder auf sich selbst anwendet), erhält man \(f(x)=a\cdot x \Longrightarrow f(f(x)) =f(a\cdot x)=a\cdot f(x)=a^2\cdot x\) usw.. Man hat also \(f^n(x)\) (f n-mal hintereinander auf x angewandt), also \(f^n(x)=a^n\cdot x\).
So, und da entsteht jetzt ein Konvergenzproblem, das man auch ohne Formalitäten erfassen kann: \(a^n\longrightarrow 0 \iff |a|<1\). Wir gehen mal von reellem a aus (hattet Ihr komplexe Zahlen im Unterricht?).
Im Fall \(|a| >1\) gilt \(|f^n(x)|\longrightarrow \infty\).
In Anwendungen (Schwingungen) will man \(|a|<1\) haben, weil einem sonst das System um die Ohren fliegt.
z.B. Schwingungen bei Brücken: soll sich nicht bei Belastungen aufschaukeln, weil das Material sonst überfordert ist (-> Tacoma bridge collapse).
Das kann man beliebig vertiefen, aber dann bräuchte man komplexe Zahlen und Differentialgleichungen, was ihr vermutlich nicht hattet). Einiges aber geht auch nur mit Matrizen. Wie man die EW und EVen allgemein berechnet, würde aber den Rahmen eines LK sprengen (finde ich).