Potenzmethode Beispiel für zwei Formeln

Aufrufe: 70     Aktiv: 05.06.2021 um 19:54

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Meine Frage ist, ob jemand einmal in die Formel des allgemeinen Algorhytmuses (geschlossene Form) Werte einsetzen kann und einmal für die Formel um auf den Skalaren 0k zu kommen. Ich verstehe nämlich die Formel nicht ganz und kann die Formel deshalb nicht anwenden wäre dankbar für ein Beispiel :)
Meine Frage bezieht sich auf diesen Artikel dort sind die Formeln, aber leider keine Beispielrechnung: Potenzmethode (biancahoegel.de)
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Ist die Aufgabe immer noch dieselbe wie der vorigen Frage, "Zusammenhang zwischen Eigenwerten einer Abb. und Konvergenzverhalten"? Lautet das Thema WÖRTLICH so? Es kommt auf jedes Detail an. Außerdem: welches Niveau? Schule oder Uni/FH?   ─   mikn 05.06.2021 um 13:30

Ich bin noch Schüler und soll mich in dieses Thema einarbeiten :) und ja genau das ist meine Fragestellung.   ─   usera4350a 05.06.2021 um 15:56

Habt Ihr denn im Unterricht den Begriff "Eigenwert" definiert? Wenn ja, wie? Ich glaube nicht, dass Du Dich als Schüler mit der oben verlinkten Potenzmethode beschäftigen sollst.   ─   mikn 05.06.2021 um 16:04

Ne haben wir nicht ich soll eine Präsentation zu diesem Thema halten und habe somit alles zu diesem Themengebiet mir selbst beigebracht, aber bei dieser Fragestellung habe ich noch keine simple Lösung gefunden. Aber ich weiß, dass der Eigenvektor eine Matrix in form eines Skalars abbildet und Konvergenz heißt, dass die Werte sich einem Wert immer weiter annähern, aber diesen nie erreichen. Was der Zusammenhang zwischen den beiden Themengebieten sein soll ist mir nicht ganz klar.   ─   usera4350a 05.06.2021 um 16:14

In Deinem Thema ist ja von Matrizen gar nicht die Rede. Und anscheinend hattet Ihr den Begriff "Konvergenz" auch noch nicht. Ich würde es so verstehen, dass Du Dir bei dieser Themenvorgabe den Zusammenhang selbst aussuchen darfst. Ich schreib gleich was auf dazu. Welche Klasse bist Du? Und ggf.: GK oder LK?   ─   mikn 05.06.2021 um 16:17

Ich bin im LK im und ich bin in der Oberstufe. Genau den begriff Konvergenz haben wir im Unterricht auch nicht besprochen. Ich dachte die Eigenwerte beziehen sich immer auf eine Matrix.   ─   usera4350a 05.06.2021 um 16:27

Das Thema "Eigenwert einer Abbildung" lässt auch anderes offen, auch wenn man dann doch bei Matrizen landet.   ─   mikn 05.06.2021 um 16:28

Dann werde ich nochmal versuchen zu klären, was Eigenwert einer Abbildung genau bedeutet. Hättest du vielleicht eine Idee oder einen Ansatz über einen möglichen Zusammenhang der beiden Themen? Ich habe bislang nur die oben genannte Quelle gefunden und eine Studie über das Thema. Leider ist diese sehr komplex und für mich nicht verständlich.   ─   usera4350a 05.06.2021 um 16:36

Ich sagte, ich schreib gleich was auf, etwas Geduld bitte.   ─   mikn 05.06.2021 um 16:44

Ah tut mir Leid. Vielen Dank.   ─   usera4350a 05.06.2021 um 16:45

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Ich hab (bis jetzt) noch nichts für LK lesbares im Internet gefunden, aber hier die Schritte, wie ich das angehen würde.
Def. a EW einer linearen Abb. f, falls es ein x gibt mit f(x)=a*x. x heißt dann Eigenvektor.
Lineare Abb. von R^n nach R^n beschreibt man mit nxn-Matrizen, und spricht dann auch von EW und EV der Matrix.
Mir geht es hier um die Abb. f. Wenn man diese iteriert (immer wieder auf sich selbst anwendet), erhält man \(f(x)=a\cdot x \Longrightarrow f(f(x)) =f(a\cdot x)=a\cdot f(x)=a^2\cdot x\) usw.. Man hat also \(f^n(x)\) (f n-mal hintereinander auf x angewandt), also \(f^n(x)=a^n\cdot x\).
So, und da entsteht jetzt ein Konvergenzproblem, das man auch ohne Formalitäten erfassen kann: \(a^n\longrightarrow 0 \iff |a|<1\). Wir gehen mal von reellem a aus (hattet Ihr komplexe Zahlen im Unterricht?).
Im Fall \(|a| >1\) gilt \(|f^n(x)|\longrightarrow \infty\).
In Anwendungen (Schwingungen) will man \(|a|<1\) haben, weil einem sonst das System um die Ohren fliegt.
z.B. Schwingungen bei Brücken: soll sich nicht bei Belastungen aufschaukeln, weil das Material sonst überfordert ist (-> Tacoma bridge collapse).
Das kann man beliebig vertiefen, aber dann bräuchte man komplexe Zahlen und Differentialgleichungen, was ihr vermutlich nicht hattet). Einiges aber geht auch nur mit Matrizen. Wie man die EW und EVen allgemein berechnet, würde aber den Rahmen eines LK sprengen (finde ich).



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Weitere Anregungen:
Denke das obige genau durch für die Fälle f(x)=2x, f(x)=0.1x, f(x)=-s.
Danach kannst Du zu Matrizen übergehen, da kommen dann zwei EWe ins Spiel. Betrachte die Matrix \(A=\begin{pmatrix} a_1 & 0\\ 0 & a_2 \end{pmatrix}\), also \(f(x)=A\cdot x\) und teste mit \(x=\binom10, x=\binom01, x=\binom11\) mit versch. \(a_1, a_2\) und untersuche das Konvergenzverhalten von f^n(x).
  ─   mikn 05.06.2021 um 19:54

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