8) Wir stellen zunächst die Tangentengleichung auf. Es gilt

\( t(x) = f^{\prime}(\pi) \cdot x+ (f(\pi)-f^{\prime}(\pi) \cdot \pi) = \cos(\pi) \cdot x + (\sin(\pi)+2-\cos(\pi) \cdot \pi) = -x+(2+\pi) \)

Da wir die Fläche nur approximieren sollen und \(\pi\) ungefähr \(3,14\) ist, ändern wir die Funktion \(n\) einfach wie folgt ab: \(n(x)=x-(\pi - 2)\). Nun bestimmen wir die Schnittpunkte von \(t\) und \(n\) mit der x-Achse.

Aus \(t(x)=0\) folgt \(x=2+\pi\), also liegt der erste Schnittpunkt bei \(P(0 \vert 2+\pi)\).

Aus \(n(x)=0\) folgt \(x=\pi - 2\), also liegt der zweite Schnittpunkt bei \(Q(0 \vert \pi - 2)\).

Die Strecke zwischen den Punkten \(P\) und \(Q\) bildet (ungefähr) die Grundseite des Dreiecks. Sie hat die Länge \(2+\pi-(\pi-2)=4\).

Nun bestimmen wir den Schnittpunkt von \(t\) und \(n\).

Aus \(t(x)=n(x)\) folgt \(x=\pi\). Der zugehörige y-Wert entspricht (ungefähr) der Höhe des Dreiecks. Die länge der Höhe beträgt also \(y=n(\pi)=2\).

Damit ergibt sich für die Fläche ein ungefährer Wert von \( \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2 = 4 \).

10) a) \(s\) wird genau dann Null, wenn der Sinus Null wird. Die Nullstellen des Sinus liegen bei \(z\pi\) für \(z \in \mathbb{Z}\).

b) \(s\) wird maximal bzw. minimal wenn der Sinus maximal bzw. minimal wird. Der Sinus wird maximal bzw. minimal, wenn seine Ableitung, der Kosinus, eine Nullstelle hat. Die Nullstellen des Kosinus liegen bei \(\frac{1+2z}{2} \pi\) für \(z \in \mathbb{Z}\). Die Frage nach der Momentangeschwindigkeit erübrigt sich, denn an Extremstellen ist die momentane Änderungsrate (also die Ableitung) immer Null.

c) Die Geschwindigkeit beträgt \( s^{\prime}(z \pi) = 10 \cos(z \pi) = \begin{cases} 1 & z \ gerade \\ -1 & z \ ungerade \end{cases} \) cm pro sec.