Grenzwert einer Reihe mit Wurzel

Erste Frage Aufrufe: 76     Aktiv: 11.12.2022 um 14:25

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Hallo liebe Community! 

ich hänge hier gerade an ein paar Matheaufgaben, die mich zur Verzweiflung bringen. Leider komme ich mit YouTube Videos etc nicht weiter, deshalb hoffe ich hier jemanden zu finden, der dieser Aufgabe gewachsen ist 😁
Gerne mit Erklärung und vielen Dank schonmal an den Schnellsten :)

Achso, es geht um die Grenzwertberechnung der Folgenden Reihe

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1 Antwort
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Anstatt Videos zu schauen würde helfen mal was auszuprobieren. Bei Summenzeichen hilft oft die Summe auszuschreiben. Schreibe also mal $\sum\limits_{n=3}^k...$ für $k=3,4,5,...$ aus und schau, ob Dir was auffällt. Gesucht ist am Ende der Grenzwert für $k\to\infty$.
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Lehrer/Professor, Punkte: 31.79K

 

Ist es dann so, dass sich die Reihe gegenseitig aufhebt und die dritte Wurzel aus 14 stehen bleibt?   ─   fg 11.12.2022 um 12:57

Idee klingt richtig. Für welche $k$ gibt es welches Ergebnis?   ─   mikn 11.12.2022 um 12:58

Für k=3: dritte Wurzel aus 14 minus vierte wurzel aus 14
Alle weiteren k laufen gegen 0, oder?
  ─   fg 11.12.2022 um 13:05

Nein. Die k's laufen sowieso nicht. Wie lauten die Werte der Summe für $k=4,5,6...$? Bitte mit genauer Zuordnung. Dann für allgemeines $k$, dann erst kommt ein Grenzwert.   ─   mikn 11.12.2022 um 13:09

Ups.. 😅
Naja bei k=3 bleibt dritte Wurzel aus 14 minus vierte Wurzel aus 14
k=4 dritte Wurzel aus 14 minus fünfte Wurzel aus 14
k=5 dritte Wurzel aus 14 minus sechste Wurzel aus 14
k=6 dritte Wurzel aus 14 minus siebte Wurzel aus 14
Usw.
  ─   fg 11.12.2022 um 13:20

Ok, gut. Und was ist also $\sum\limits_{n=3}^k ...$ allgemein? Und was ist der Grenzwert?   ─   mikn 11.12.2022 um 13:23

Ich glaube ich stehe aufm Schlauch .. wäre dann 3. Wurzel 14 - k+1. Wurzel 14?   ─   fg 11.12.2022 um 13:29

Und der Grenzwert dann einfach 3. Wurzel aus 14, da der Rest immer kleiner wird?   ─   fg 11.12.2022 um 13:32

Ersteres ist richtig, das zweite aber nicht. Was ist $\lim \sqrt[k+1]{14}$? Könnte in Deinen Vorlesungsunterlagen stehen. Und nebenbei, wenn etwas immer kleiner wird, heißt es nicht, dass der Grenzwert 0 ist.   ─   mikn 11.12.2022 um 13:37

Das ist das Problem, habe zu einem vergleichbaren Fall leider nichts gefunden in meinen Unterlagen. Stehe hier jetzt ordentlich auf dem Schlauch leider.   ─   fg 11.12.2022 um 13:48

Du brauchst $\lim\limits_{k\to\infty} \sqrt[k]c$ für konstantes $c$. Ich vermute, dass es irgendwo bei Dir steht, weil es sonst eine eigene Ü-Aufgabe für sich wäre. Welche Zahl der Grenzwert ist, kannst Du leicht mit TR rausfinden.   ─   mikn 11.12.2022 um 13:54

TR ist leider tabu.. 🥴 allerdings habe ich eine Notiz dazu, wenn in einer Wurzel die Zahl konstant ist, dass es dann gegen 1 läuft. Ist das Korrekt? Wäre der Grenzwert dann 3. Wurzel 14 minus 1?   ─   fg 11.12.2022 um 14:02

Ja, das stimmt. Genau diese Notiz brauchen wir. Und Du meinst das richtige, aber an Deinen Formulierungen solltest Du noch feilen. Mathematik (und vieles andere) lebt von genauen Formulierungen, bei Dir geht einiges durcheinander und ist schwammig. Nur mit großen Wohlwollen ist das akzeptabel (heißt: in einer schriftlichen Lösung nicht).   ─   mikn 11.12.2022 um 14:13

Okay perfekt! Danke für die Hilfe 😁👍🏼 Werde ich mir zu Herzen nehmen.
Einen schönen 3. Advent wünsche ich noch :)
  ─   fg 11.12.2022 um 14:20

Danke, Dir auch.   ─   mikn 11.12.2022 um 14:25

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