0

Guten Tag,

ich habe gerade irgendwie ein paar Probleme zur folgenden Aufgabe ein LGS der Form $Ax=b$ aufzustellen: 
$$N(t)=N_{0} e^{- \lambda t }$$

Die Gleichung beschreibt den radioaktiven Zerfall. Wobei $N$ die Substanzmenge ist und $N_{0}$ der Wert zum Zeitpunkt $t=0$ ist.

Ich habe folgende Werte gegeben:
$$
\begin{tabular}[h]{l|c|r}

t & 2 & 4 & 6 & 8 \\
\hline
N & 90 & 12.2 & 7.4 & 2.7 \\
\end{tabular}
$$
(wie bekomme ich hier Tabellen hin?

Ich hoffe man kann die Daten trotzdem heraus lesen.

 

a) Ich soll nun also ein LGS $Ax=b$ zu den Messdaten mit dem Vektor $x$ der Unbekannten von $N(t)$ bestimmen.

Also meine Unbekannten sind doch $N_{0}$ und $\lambda$ oder? 

und $ b$ sind entsprechend die Werte für $N$ 

Also 

$$A* (x_1,x_2)^T=(90,12.2,7.4,2.7)^T$$

Ist A dann eine Diagonalmatrix mit den Werten von $t$ auf der Hauptdiagonalen?

b) Hier soll ich das ganze dann mit der Methode der kleinsten Fehlerquadrate lösen, aber dafür brauch ich ja erstmal das LGS

 

Danke für eure Hilfe!

Diese Frage melden
gefragt

Punkte: 34

 

1
Zu den Tabellen: Du hast mehr Spalten angegeben als du in der tabular-Umgebung definiert hast. Vermutlich wirds es deswegen nicht korrekt übersetzt.   ─   cauchy 15.11.2021 um 14:39
Kommentar schreiben
1 Antwort
1
Ja, hier gibt es zwei Unbekannte. Und das Problem ist nichtlinear in $\lambda$, also führt das Ausgleichsproblem nicht auf ein LGS, sondern auf ein NLGS. Eine Matrix A sucht man hier also vergeblich. Wie man das nun löst, ist hier zu aufwendig zu erklären. In der Vorlesung sollte die Idee erklärt worden sein (Ableitungen nach den Unbekannten =0 setzen usw.).
Das NLGS ist linear in N0, daher kann man eine Gleichung nach N0 auflösen und in die zweite einsetzen, was auf eine noch kompliziertere nichtlineare Gleichung führt. Ist aber dann nur noch eine, die mit Sekantenverfahren o.ä. gelöst werden kann.
So das grobe Vorgehen. Das Aufschreiben und Programmieren der Gleichungen ist mühselig.

Wie lautet die Aufgabenstellung im Original?
Diese Antwort melden
geantwortet

Lehrer/Professor, Punkte: 18.66K

 

Hallo vielen Dank für die Antwort. Die Aufgabenstellung im Originallaut:

a) Bestimmen Sie ein lineares Gleichungssystem Ax = b zu den Messdaten mit dem Vektor x
der Unbekannten von N(t) und argumentieren Sie, ob Ax = b lösbar ist.

Das linear ist nochmal betont in kursiver Schrift.
  ─   walterfrosch 15.11.2021 um 11:55

1
Ok. Das betont "lineare" leitet mich auf folgendes:
Die Daten logarithmieren. Dann hat man $\ln (N_0\,e^{\lambda\,t})=\ln N_0 +\lambda\, t$ und damit ein lineares Ausgleichsproblem, was auf ein LGS mit 2x2-Matrix A führt und wie üblich lösbar ist.
Man muss sich nur klar machen, dass man damit NICHT das Originalproblem im Sinne der kleinsten Fehlerquadrate löst. Die Lösung des (nichtlinearen) Originalproblems gibt etwas andere Ergebnisse und eine Lösung, die näher an den Daten liegt.
Die Lösung des logarithmierten Problems ist also nicht optimal, aber da sie viel einfacher zu erhalten ist, ist es eine praktikable Methode um halbwegs(!) optimale Werte zu bekommen.
  ─   mikn 15.11.2021 um 12:11

Erneut vielen Dank. Ich habe jetzt aber nochmal genauer mein Skript studiert und folgendes Beispiel gefunden. Es wird hier

https://heiup.uni-heidelberg.de/reader/download/206/206-68-77648-1-10-20170413.pdf

S.134. Beispiel 4.10 mit der Vandermondschen Matrix gelöst.


Wie versuche ich noch zu verstehen.
  ─   walterfrosch 15.11.2021 um 12:22

1
Das ist alles über LINEARE Ausgleichsprobleme und ein solches liegt hier NICHT vor. Aus einem nichtlinearen Problem - das haben wir hier zweifellos - kann man kein lineares machen, ohne es zu ändern. Darauf wird auch im Skript auf S. 135, Bem. 4.2 hingewiesen. Dort ist auch eine Umschreibung erwähnt.   ─   mikn 15.11.2021 um 12:34

In unserem Skript, welches eine andere Reihenfolge hat haben wir bis jetzt aber auch nur über lineare Probleme gesprochen.   ─   walterfrosch 15.11.2021 um 12:48

Könnte ich den das Problem mit dem $ln$ vorher linear machen und dann so vorgehen?
Dann wäre $a=ln N_0$ und $b= \lambda$
  ─   walterfrosch 15.11.2021 um 12:53

1
Ja, das habe ich doch erklärt. Aus a kann man dann N0 berechnen. Aber nochmal: es wird dadurch ein anderes Ausgleichsproblem.   ─   mikn 15.11.2021 um 13:41

Kommentar schreiben