Wenn man sich mit Exponentialfunktionen und deren Ableitungen befasst hat, kann man relativ leicht auf eine Lösung kommen durch ein bisschen Herumprobieren: 

Variante 1: Leite den Integranden mehrfach ab (ist außerdem eine gute Übung) und versuche das Muster zu erkennen. Wenn du die Regelmäßigkeit erkannt hast, kannst du damit möglicherweise auf die Stammfunktion schließen. 

Variante 2: Nimm an, deine Stammfunktion hat die Gestalt $F(x)=(ax+b)\cdot \mathrm{e}^{-x}$. Leite diesen Ausdruck ab und vergleiche ihn mit dem Integranden. Du erhältst dadurch ein lineares Gleichungssystem für $a$ und $b$, denn wenn du eine Gleichung der Form $(ax+b)\mathrm{e}^{-x}=(cx+d)\mathrm{e}^{-x}$ hast, muss $a=c$ und $b=d$ sein. Sowas nennt man Koeffizientenvergleich. 

Probier hier ruhig mal ein wenig rum. Wenn du dann die Stammfunktion gefunden hast (am besten nochmal durch Ableiten prüfen), funktioniert die Berechnung des Integrals wie sonst auch.