Tangentialebene in einem Punkt

Aufrufe: 31     Aktiv: 18.07.2021 um 15:36

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Hallo,
ich soll ermitteln an welchem Punkt die Funktion:
z = sin(x) + y³ + x
die Tangentialebene 2x +3y -z = -2 besitzt.

Ich habe logisch verstanden das x0 = 0 sein muss, da ich in meiner Tangentialebene kein pi besitze. Bei y0 weiß ich aber nicht wie ich korrekt vorgehen muss. Ich weiß y kann nur -1 oder 1 sein, aber wie beweise ich nun korrekt, was der richtige Wert ist?
Gruß
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Der Koeffizientenvergleich liefert
\( \cos(x_0)+1=2 \)
\( 3y_0^2 = 3 \)
\( -2x_0 - 3y_0 + (\sin(x_0) + y_0^3 + x_0) = 2 \)
(und nicht \( z_0=2\)).

Aus \( \cos(x_0)+1=2 \) folgt \( x_0 \in 2 \pi \mathbb{Z} \) und aus \( 3y_0^2 = 3 \) folgt \( y_0=\pm 1 \). Wir erhalten also, dass für \( x_0 \neq 0 \) der Ausdruck
\( -2x_0 - 3y_0 + (\sin(x_0) + y_0^3 + x_0) = y_0^3 - 3y_0 - x_0 \)
keine ganze Zahl sein kann. Es muss also \( x_0 = 0 \) sein.
Daraus ergibt sich dann \( y_0^3 - 3y_0 = 2 \) und somit \( y_0=-1 \).
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