Die allgemeine Form einer Parabel (Polynom 2.Grades) lautet: \(y(x)=ax^2+bx+c\)  (mit \(a \ne 0\), denn wenn a=0 wäre, hätten wir ja keine Parabel, sondern eine Gerade).
Das kann man mit der Mitternachtsformel lösen. Empfehlenswert ist aber die pq-Formel, wo man bildet:
\(y(x)= a(x^2 +{b \over a}x+{c \over a})= a(x^2+px+q)\).
Nullstellen dieser Gleichung sind die Werte von x, für die y(x) = 0 wird. Davon gibt es höchstens 2. (Es kann auch eine sein oder gar keine)
da \(a \ne 0 \) betrachten wir den Inhalt der Klammer:  wann wird \(x^2+px+q =0\) ?
da hilft die pq-Formel und besagt die Nullstellen sind  \(x_{1,2} = -{p \over 2} \pm \sqrt {({p \over 2})^2 -q}\).
Jetzt kommt es drauf an, welchen Wert der Ausdruck unter der Wurzel hat
Ist \(({p \over2})^2-q \gt 0 \), dann gibt es 2 Nullstellen.
Ist \(({p \over 2})^2 - q =0\), dann gibt es eine (doppelte) Nullstelle.
Ist \(({p \over 2})^2-q \lt 0\), dann gibt es keine (reelle) Nullstelle.

1) Kann ich die Nullstellen immer mit der pq Formel ausrechnen?

Vom Grundsatz her kannst du die pq Formel bei allen Gleichungen der Form  \( 0 = x^2 + px + q\) nutzen. Wenn die Funktion anders aufgebaut ist, benötigt es einige Umformungsschritte:

a) In der allgemeinen Form \( 0 = ax^2 + bx + c :\)
Hierbei musst du die Gleichung durch \(a\) teilen, so erhälts du die Gleichung \( 0 = x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}\), diese neue Gleichung hat nun die oben benannte Form und du setzt \(p=\frac{b}{a}\) \(q = \frac{c}{a}\).

b) In der Nullstellen Form \( 0 = a \cdot (x-x_1) \cdot (x-x_2):\)
Da hast du nun bereits die Nullstelle angegeben, nämlich \(x_1\) und \(x_2\)

c) In der Scheitelpunkt Form \( 0 = a \cdot (x-d)^2 + e:\)
Diese Gleichung kannst du auf zwei verschiedene Wege lösen, entweder du löst die das Quadrat \((x-d)^2\) auf und erhälst eine Funktion der Form a), also eine Funktion der allgemeinen Form, oder du formst sie auf manuellen Wege um:
\( 0 = a \cdot (x-d)^2 + e\)
\( - e = a \cdot (x-d)^2\)
\( - \frac{e}{a} =(x-d)^2\)
\( - \frac{e}{a} =x-d\)
\(\pm \sqrt{ - \frac{e}{a}} = x-d\)
\(\pm \sqrt{ - \frac{e}{a}} + d = x\)
Dies geht natürlich nur, wenn der Term \(\frac{e}{a}\) negativ ist, andernfalls findest du keine Lösung.



2) Und wann weiß ich, ob es Nur eine oder sogar gar keine Nullstellen gibt?

Hier gelten ebenfalls verschiede Herangehensweisen bei verschiedenen Funktionen.
a) pq-Form \( 0 = x^2 + px + q:\)

• Die Funktion hat 0 Nullstellen, wenn der Term \((\frac{p}{2})^2 - q<0\), denn dann hast du einen negativen Wert unter der Wurzel, was mit Schulmathematik nicht zu lösen ist
• Die Funktion hat 1 Nullstelle, wenn \(p=0\) ist und \((\frac{p}{2})^2 - q\ge0\)
• Die Funktion hat 2 Nullstellen, wenn vorherige Fälle nicht eintraten

b) In der Nullstellen Form \( 0 = a \cdot (x-x_1) \cdot (x-x_2):\)
Wenn die Nullstellen \(x_1\) und \(x_2\) gleich sind, so hat die Funktion nur 1 Nullstelle andernfalls 2 Nullstellen.

c) In der Scheitelpunkt Form \( 0 = a \cdot (x-d)^2 + e:\)
Wenn \(e=0\), dann existiert nur 1 Nullstelle, andernfalls 2 Nullstellen.