Zeigen Sie: sbist ein Skalarprodukt bauf V

Aufrufe: 487     Aktiv: 20.07.2022 um 20:19

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Sei V = Mm,n(R) und sei s :V x V nach R gegeben durch s(A,B) := tr(A^T * B).  Ich frage mich, was das tr vor der Klammer bedeuten soll. Das ^T ist im Skript als symmetrisch definiert. Hat da jemand eine Idee.
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Das ^T bedeutet nicht symmetrisch, sondern ist die Transponierte. Das tr kommt aus dem Englischen und heißt trace und steht für die Spur der Matrix. Die Spur einer Matrix ist die Summe der Diagonalelemente.
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Also ich habe tatsächlich im Skript folgendes aufgeschrieben A e Mn+R) : A^T = A symmetrisch. Es ist möglich, daß der Zusammenhang ein anderer ist. Es ging um Bis. und Sesquilinearformen.   ─   atideva 12.05.2022 um 23:14

Das ist nun klar, ich Frage mich allerdings wie ich es bei einer V= mnM (R) zeige, daß es sich hier um ein Vektor-Produkt handelt.   ─   atideva 14.05.2022 um 14:56

Ich komme nochmal auf diese Aufgabe zurück, die ja doch etwas tricki ist.
V = \(M{m,n}({R})\) , also \({m.n}({R})\) ist hier wohl die Menge aller m x n Matrizen, die wohl wegen V = hier ein Vektorraum ist. Diese Matrizen müssen nicht quadratisch sein. Diese Aussagen habe ich von einem Dozenten der Fernuni. Ich gehe davon aus, dass sie richtig sind. Ich weiß allerdings nicht, wie ich mir die Menge aller Matrizen vorstellen soll. Das \(M{m,n}({R})\) hier ein Vektorraum ist, will mir auch noch nicht in den Kopf, sowie die Tatsache, das die Matrizen nur in einem Fall quadratisch sein sollen. Bei dem Skalarprodukt s : V x V muss ich, bzw. kann ich zwei quadratische oder nichtquadratische Matrizen nehmen?. Eine Skalar, also eine Zahl gibt es dafür nicht, sondern lediglich das Produkt dieser beiden Matrizen, die hier Vektoren sind. Der Beweis ist dann wie folgt:
s\(({A,B})\) = tr\(({A}^{T}{B})\) =tr\((({A}^{T}{B})^{T})\) = tr\(({B}^{T}{A})\) = s\(({A,B})\).
Dabei gilt tr\(({C})\) = tr\(({C}^{T})\). Diese Abfolge sehe ich so , das Produkt zweier quadratischen oder auch nichtquad. Matrizen ist gleich der Diagonalen des Produkts einer quad. oder nichtquad. transponierten Matrize mit einer nichttransponierten quad. oder nicht quad. Matrize, hier Vektoren?, die dann als Vektoren mehrere Spalten und Zeilen haben, wie Matrizen nur hier eben Vektoren....
Klar ist tr ist die Spur/Diagonal . Nochmal die Frage, steht " s " für das Skalarprodukt an sich und müssen die Matirzen hier quadratisch sein oder nicht.
Vielleicht kann mir ja einer ein paar klärende Dinge dazu sagen. Meine Gedanken drehen sich hier immer noch etwas.
  ─   atideva 20.07.2022 um 14:12

Man kann Matrizen addieren und skalieren (dafür brauchen sie nur die selbe Größe, müssen aber nicht quadratisch sein) und leicht folgen so die Eigenschaften von eine Vektorraum. Wenn man sich Standardbasis aussucht sieht man übrigens leicht, dass \(M_{m \times n}(K)\cong K^{mn}\). \(s\) ist hier eine positiv definite symmetrische reelle Bilinearform und somit nach Definition ein Skalarprodukt, schlage die letzten drei Wörter gerne nach. Das diese Eigenschaften alle vorliegen war hier die Aufgabe. Dein Beweis war nur die Symmetrie, am Ende muss aber stehen \(s(B,A)\), kleiner Schreibfehler macht nichts. Skalarprodukte (oder generell Paarungen) schreibt man oft als \((\cdot, \cdot)\) oder \(\langle \cdot, \cdot \rangle\).   ─   mathejean 20.07.2022 um 14:39

Also die Spur oder tr. muss eigentlich schon was mit der Diagonalen zu tun haben, denn die Spur oder tr. ist ja die Summe der Elemente der Hauptdiagonalen.   ─   atideva 20.07.2022 um 15:07

Auf der Suche nach Vektorraum der Matrizen - in Wikipedia, wo ich etwas vorsichtiger bin - heißt es auch Matrizenraum, bin ich dann auf Videos auf Youtube gekommen, wo eben gezeigt wurde, das es einen Vektorraum der Matrizen oder eben einen Matrizenraum gibt. Mir war diese Übertragbarkeit eines Vektorraums auf Matrizen nicht klar. Das kann man vielleicht gleich sehen. Ich habe mich an dem Begriff Vektorraum gestört, weil eine Matrix mehrere Spalten und Zeilen hat. Aber es ging hier wohl darum, dass Matrizen dieselben Rechenregeln haben wie Vektoren. Laut dem Dozenten der Fernuni muss die Matrix nur im Fall \({A}^{T}{B}\) quadratisch sein.   ─   atideva 20.07.2022 um 20:07

Wikipedia ist für Mathematik sehr gut (auf Englisch sogar noch mehr Themen abgedeckt), es werden halt nur nicht immer gleiche Notation verwendet   ─   mathejean 20.07.2022 um 20:19

Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden. Cauchy wurde bereits informiert.