Der Schrankensatz könnte helfen. Dieser sagt:

Sei I ein Intervall, und sei f : I → ℝ differenzierbar. Weiter sei f ′ beschränkt durch L ≥ 0, d. h., es gelte |f ′(x)| ≤ L für alle x  ∈  I. Dann ist f Lipschitz-stetig mit der Konstanten L.

Bei 1) nützt dieser Satz nichts, denn f'(x)=2x wächst unbeschränkt.
Aber es gilt auch die Umkehrung des Schrankensatzes: Sei f : P → ℝ differenzierbar und Lipschitz-stetig mit einer Lipschitz-Konstanten L. Dann ist f ′ beschränkt durch L.
Da aber f' unbeschränkt ist, ist f auch nicht Lipschitz-stetig.

Bei 2): \(h'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \). h' ist monoton fallend, also am linken Intervallrand maximal: \(h'(x) \le h'(1) = \frac{1}{2} \).
Damit gilt \(|h'(x)| \le \frac{1}{2}\), also ist h Lipschitz-stetig und damit auch gleichmäßig stetig.

Bei 3) kannst Du zeigen, dass k' unbeschränkt wächst, und k nicht Lipschitz-stetig ist.
Den Definitionsbereich von k in [0,1] und \([1,\infty)\) aufteilen.
Nun kannst Du zeigen, dass k in [0,1] gleichmäßig stetig ist.
Dann kannst Du zeigen, dass k in \([1,\infty)\) Lipschitz-stetig und damit auch gleichmäßig stetig ist.

Bleibt die Frage offen, ob f wenigstens gleichmäßig stetig ist. Nein, ist es nicht. Wie zeigt man das:
Gleichmäßige Stetigkeit ist wie folgt definiert: \(\forall \varepsilon>0\; \exists \delta>0\; \forall x \in \mathbb{R}\; \forall y \in [x-\delta,x+\delta]:\; |f(x)-f(y)| \le \varepsilon\)
Bei der Verneinung vertauschen sich \(\forall\) und \(\exists\), also: \(\exists\varepsilon>0\; \forall\delta>0\; \exists x \in \mathbb{R} \; \exists y \in [x-\delta,x+\delta]:\; |f(x)-f(y)| > \varepsilon\). Das ist zu zeigen. Hierzu ein paar Tipps:
Wähle \(\varepsilon=1\).
Wähle \(x=1/\delta\).
Wähle \(y=1/\delta+\delta\).
Dann musst Du noch zeigen: \(|f(1/\delta)-f(1/\delta+\delta)| > 1\).
Sollte es hier klemmen, gerne noch mal nachfragen.