Zeigen sie, dass: T_3\cap T_7=T21

Erste Frage Aufrufe: 79     Aktiv: 07.11.2021 um 15:43

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Zu d\in\mathbb{Z}\ \setminus{0}\ \ sei\ T_d die Menge aller durch d teilbaren Zahlen. Zeigen sie, dass: T_3\cap T_7=T21 Wenn man die einzelnen Mengen mal betrachtet sieht man ja eine gewisse Korellation: T_3 : {3,6,9,12,15,18,21!,24,27,30,33,36,39,42!...} T_7 : {7,14,21!,28,35,42!,49...} T_{21} : {21!,42!,63,84...} Das Ding ist wir haben in unserer Vorlesung noch kein Wissen über das kgV oder den ggT, was den Beweis davon irgendwie etwas erschwert. Hätte vielleicht jemand eine Idee wie man so etwas auch alternativ mit Wissen aus der Mengenlehre zeigen kann?

EDIT vom 07.11.2021 um 10:01:

Zu $$d\in\mathbb{Z}\ \setminus{0}\ \ sei\ T_d$$ die Menge aller durch d teilbaren Zahlen. Zeigen sie, dass: $$T_3\cap T_7=T_{21}$$ Wenn man die einzelnen Mengen mal betrachtet sieht man ja eine gewisse Korellation: $$ T_3 : {3,6,9,12,15,18,21!,24,27,30,33,36,39,42!...}$$ $$T_7 : {7,14,21!,28,35,42!,49...}$$ $$T_{21} : {21!,42!,63,84...}$$ Das Ding ist wir haben in unserer Vorlesung noch kein Wissen über das kgV oder den ggT, was den Beweis davon irgendwie etwas erschwert. Hätte vielleicht jemand eine Idee wie man so etwas auch alternativ mit Wissen aus der Mengenlehre zeigen kann?
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Wenn Du den LaTeX-Code in $-Zeichen einschließt, sieht es auch so aus wie vermutlich beabsichtigt.   ─   mikn 06.11.2021 um 19:53
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Man braucht hier keine Kenntnisse über kgV und ggT. Man muss nur wissen, was teilbar heißt.
Schreibe als erstes die nachzuweisende Aussage mit Schreibweisen der Aussagenlogik um, d.h. x Element der Menge auf der linken Seite $\iff$ x Element der Menge auf der rechten Seite usw.
Vergiss die $-Zeichen nicht.

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Vielen Dank erstmal für deine schnelle Antwort :D
$$ T_3\cap T_7=T21 $$\\
Die Aussage lautet ja formal: Eine Zahl ist durch 21 teilbar, wenn sie durch 3 und 7 teilbar ist. Wenn man das in die Schreibweise mit logischen Zeichen überführt hat man ja sowas wie:
$$ x \in T_3 \land x \in T_7=x \in T_{21} $$ \\
Also, wenn x ein Element von $$T_3$$ und $$T_7$$ ist, dann ist es auch ein Element von $$T_{21}$$ Das klingt ja erst einmal recht logisch. Ich weiß jetzt halt nur leider nicht, ob es reicht zu zeigen, dass 21 die 7 und die 3 teilt. Zumal das ja auch nur ein Zeigen für eine endliche Menge währe und ich schätze mal, ich soll das allgemein zeigen.

(P.S. Ich hoffe das mit dem LaTeX klappt so halbwegs, ich hab da keine Erfahrungen mit)
  ─   jkub 07.11.2021 um 09:53

Zu LaTeX: Du bist ein gutes Beispiel wie schnell man damit ohne Vorkenntnisse lesbare Formeln produzieren kann.
Es geht um die Aussage: $x \in T_3 \land x \in T_7\iff x \in T_{21}$. Beachte die Äquivalenz (in LaTeX: \iff), es sind zwei Richtungen zu zeigen.
Einfach sagen, dass 12=3*7 ist, reicht natürlich nicht.
Wir wissen: $x \in T_3 \iff$ es gibt ein $k\in N$ mit $x=3\,k$. Analog mit 7, aber natürlich nicht mit demselben $k$. Dann braucht man die Primzahleigenschaft: $p$ Primzahl, $p| (a\cdot b) \Longrightarrow p | a \lor p|b$. Das sind die Bausteine zur Lösung.
Als warm up kannst Du mit der anderen, einfacheren Richtung anfangen: $x\in T_{21} \Longrightarrow x\in T_3 \land x\in T_7$.
  ─   mikn 07.11.2021 um 12:57

$$T_3\land T_7 \iff T_{21}$$
$$x \in T_3 \iff \exists k\in {Z}: x = 3k $$
$$x \in T_7 \iff \exists k\in {Z}: x = 3k_2 $$ Für eine Zahl z aus T3∩T7gilt folglich:
$$\forall z \in T3∩T7 \exists k,k_2 \in {Z}: z=3k=7k_2$$ Für Primzahlen p gilt: $$p|(a⋅b)⟹p|a∨p|b$$ Da 3 und 7 Primzahlen sind gilt: $$\exists k,k_2 \in {Z}:3|k_2 \land 7|k$$
Hier ist jetzt der Teil wo ich hänge und nicht weiß, wie ich nachweisen soll, dass die ein Vielfaches von 21 sind und was das mit den Primzahlen zu tun hat.

Sei $$z \in T_{21}$$ so gilt: $$ \exists a \in {Z}: z=21*a \iff z=7*3*a $$ Da z aus T21 stammt und Vielfaches von 3 und 7 ist, ist z auch in T3 und T7.

Das ist jetzt erstmal was ich habe, kann man diesen "textbasierten" Beweis an manchen Stellen eventuell auch noch mathematischer ausdrücken?
Mfg
  ─   jkub 07.11.2021 um 14:17

Da sind ein paar Flüchtigkeitsfehler.
$T_3\land T_7$ geht nicht, da beides Mengen sind.
Bei $T_7$ muss $x=7\,k_2$ stehen.
Du musst keinen neuen Buchstaben z einführen, mit x kann man auch weitermachen (ist kein Fehler, nur: je weniger Buchstaben, desto übersichtlicher).
Wir haben also $z=3\cdot k=7\cdot k_2$ (Malpunkt in LaTex ist \cdot).
Also gilt $3| (7\cdot k_2)$, weiter mit der Primzahleigenschaft.
Die zweite Richtung, beginnend mit $z\in T_{21}$ ist richtig. Wäre aber beim Aufschreiben gut zu trennen von der anderen Richtung. Bzw. vorher zu sagen, was jetzt gezeigt werden soll.
  ─   mikn 07.11.2021 um 14:31

Wunderbar, ich glaube ich habe jetzt die Lösung, vielen Dank dir. Ich weiß zwar nicht, ob ich das Lemma von Euklid schon verwenden darf, weil wir es noch nicht eingeführt hatten, aber so schwer ist das ja eigentlich nicht nachzuvollziehen.   ─   jkub 07.11.2021 um 15:22

Genau, man kann auch einfach sagen, dass es offensichtlich ist, in diesem Fall, ohne Euklid zu erwähnen.   ─   mikn 07.11.2021 um 15:43

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