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Man braucht hier keine Kenntnisse über kgV und ggT. Man muss nur wissen, was teilbar heißt.
Schreibe als erstes die nachzuweisende Aussage mit Schreibweisen der Aussagenlogik um, d.h. x Element der Menge auf der linken Seite $\iff$ x Element der Menge auf der rechten Seite usw.
Vergiss die $-Zeichen nicht.
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geantwortet
mikn
Lehrer/Professor, Punkte: 39.05K
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$$T_3\land T_7 \iff T_{21}$$
$$x \in T_3 \iff \exists k\in {Z}: x = 3k $$
$$x \in T_7 \iff \exists k\in {Z}: x = 3k_2 $$ Für eine Zahl z aus T3∩T7gilt folglich:
$$\forall z \in T3∩T7 \exists k,k_2 \in {Z}: z=3k=7k_2$$ Für Primzahlen p gilt: $$p|(a⋅b)⟹p|a∨p|b$$ Da 3 und 7 Primzahlen sind gilt: $$\exists k,k_2 \in {Z}:3|k_2 \land 7|k$$
Hier ist jetzt der Teil wo ich hänge und nicht weiß, wie ich nachweisen soll, dass die ein Vielfaches von 21 sind und was das mit den Primzahlen zu tun hat.
Sei $$z \in T_{21}$$ so gilt: $$ \exists a \in {Z}: z=21*a \iff z=7*3*a $$ Da z aus T21 stammt und Vielfaches von 3 und 7 ist, ist z auch in T3 und T7.
Das ist jetzt erstmal was ich habe, kann man diesen "textbasierten" Beweis an manchen Stellen eventuell auch noch mathematischer ausdrücken?
Mfg ─ jkub 07.11.2021 um 14:17
$$x \in T_3 \iff \exists k\in {Z}: x = 3k $$
$$x \in T_7 \iff \exists k\in {Z}: x = 3k_2 $$ Für eine Zahl z aus T3∩T7gilt folglich:
$$\forall z \in T3∩T7 \exists k,k_2 \in {Z}: z=3k=7k_2$$ Für Primzahlen p gilt: $$p|(a⋅b)⟹p|a∨p|b$$ Da 3 und 7 Primzahlen sind gilt: $$\exists k,k_2 \in {Z}:3|k_2 \land 7|k$$
Hier ist jetzt der Teil wo ich hänge und nicht weiß, wie ich nachweisen soll, dass die ein Vielfaches von 21 sind und was das mit den Primzahlen zu tun hat.
Sei $$z \in T_{21}$$ so gilt: $$ \exists a \in {Z}: z=21*a \iff z=7*3*a $$ Da z aus T21 stammt und Vielfaches von 3 und 7 ist, ist z auch in T3 und T7.
Das ist jetzt erstmal was ich habe, kann man diesen "textbasierten" Beweis an manchen Stellen eventuell auch noch mathematischer ausdrücken?
Mfg ─ jkub 07.11.2021 um 14:17
Wunderbar, ich glaube ich habe jetzt die Lösung, vielen Dank dir. Ich weiß zwar nicht, ob ich das Lemma von Euklid schon verwenden darf, weil wir es noch nicht eingeführt hatten, aber so schwer ist das ja eigentlich nicht nachzuvollziehen.
─
jkub
07.11.2021 um 15:22
Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden.
Mikn wurde bereits informiert.
$$ T_3\cap T_7=T21 $$\\
Die Aussage lautet ja formal: Eine Zahl ist durch 21 teilbar, wenn sie durch 3 und 7 teilbar ist. Wenn man das in die Schreibweise mit logischen Zeichen überführt hat man ja sowas wie:
$$ x \in T_3 \land x \in T_7=x \in T_{21} $$ \\
Also, wenn x ein Element von $$T_3$$ und $$T_7$$ ist, dann ist es auch ein Element von $$T_{21}$$ Das klingt ja erst einmal recht logisch. Ich weiß jetzt halt nur leider nicht, ob es reicht zu zeigen, dass 21 die 7 und die 3 teilt. Zumal das ja auch nur ein Zeigen für eine endliche Menge währe und ich schätze mal, ich soll das allgemein zeigen.
(P.S. Ich hoffe das mit dem LaTeX klappt so halbwegs, ich hab da keine Erfahrungen mit) ─ jkub 07.11.2021 um 09:53