Orthogonale Abbildung

Aufrufe: 540     Aktiv: 18.09.2022 um 19:52

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Hallo,
ich habe folgende Aussage: 

Sei V = R^n und U ein Unterraum von V . Die Menge U^⊥ := {v ∈ V | v ⊥ u für alle u ∈ U} wird als orthogonales Komplement von U bezeichnet.

Zeigen Sie:

(i) U^⊥ ist ein Unterraum von V .

(ii) V = U ⊕ U^⊥

(iii) Ist f : V → V eine orthogonale Abbildung mit f(U) = U, so gilt auch f(U^⊥) = U^⊥

Bei i und ii bin ich zurecht gekommen und habe es auch richtig bewiesen. Nun kommt iii, bei dieser Frage ist ja die Voraussetzung, dass f(U)=U gilt.
D.h. es gilt für u1,u2 aus U z.b.
1. f(u1)*f(u2)=u1*u2
2.orthogonale Abbildung sind zudem injektiv, sprich ker(U)=0 und Längen und Vekotren bleiben unverändert

Bei iii gilt nun f(U) = U
Z.z. f(U^⊥) = U^⊥ (Ich soll zeigen, dass es auch eine orthogonale Abbildung ist)

Ich musste nun daran denken, es mit dem Skalarprodukt zu probieren, also:
Wähle ein v aus U^⊥:
<v,u> = 0 d.h. dann auch f(v)*f(u) = u*v 
Ich weiß nicht genau, ob das der richtige Ansatz ist, da ich nicht weiter weiß. Beweisen fällt mir nicht leicht. Als kleine Randnotiz: Es geht mir nicht um den Lösungsweg, sondern darum zu erkennen, was genau ist hier gesucht. Falls jeamand auch allgemeine Tipps hat, wie ich am besten bei solchen Beweisen vorangehen kann, um zu erkennen, was gesucht wird, würde ich mich auch freuen.

Ich danke für jegliche Hilfe.
LG

gefragt

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Also, ich habe jetzt etwas darüber nachgedacht. Und zwar soll es hier darum gehen, dass der gesamte Unterraum bzw. alle UVRs von V eine orthogonale Abbildung für V darstellen soll. D.h. =0 Soll das der erste Gedanke sein?
Das was vor der 0 steht, wird komischerweise nicht angezeigt, es soll da eigentlich stehen das Skalarprodukt von U und das orthogonale Komplement ergibt gleich 0 (Ich schreibe es deswegen jetzt in Wörtern)
  ─   userf4fd70 17.09.2022 um 19:29

Achso, ja ich war auch etwas verwundert, dann ist wohl meine Wortwahl und der Ausdruck unverständlich. Aber dass was sie nun wiedergegeben haben, darauf wollte ich auch hinaus. Ich werde darauf achten! :)   ─   userf4fd70 17.09.2022 um 20:19
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Wir müssen zuerst mit einem \(v \in U^{\perp}\) anfangen und zeigen \(f(v)\in U^{\perp}\). Sei also \(u \in U\), zu zeigen ist \(f(v)*u=0\), mit \(*\) ich meine Skalarprodukt. Es ist aber \(f(U)=U\), also finden wir \(u'\in U\) mit \(f(u')=u\). Jetzt fast geschafft nutze nur noch orthogonalität und dann hast du die erste Richtung. Für die Gleichheit wir können mit Dimension es uns leicht machen
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Da du nach Tipp gefragt hast: Mengengleichheit man zeigt oft durch zeigen beider Inklusionen. In Lineare Algebra oft reicht eine Inklusion und ein Dimensionsargument   ─   mathejean 17.09.2022 um 20:12

Also ich muss das einmal Schritt für Schritt machen:

Sei v ∈ U^⊥ d.h. ein Element aus V, dass v*u=0 für alle u ∈ U erfüllt.
Zz. f(v) aus U^⊥
f(v)*u = v*u = 0, also existiert schon mal ein f(v). Ist das bis jetzt ok so?

Oder muss ich erstmal u' aus U zeigen?

  ─   userf4fd70 17.09.2022 um 20:45

Ich wollte eigentlich erstmal langsam vorangehen. Der Beweis bezog sich eigentlich erst nur auf den allersten Satz "Wir müssen mit einem v aus U^⊥ anfangen und zeigen f(v) aus U^⊥"
aber dann halte ich mich am Muster:
So nochmal
Sei u ∈ U.
Z.z. f(v)*u=0 =v*u = 0
Nun f(U) = U
u' ∈ U mit f(u') = u
v*f(u') = v*u = 0


Ist das besser so? Zum u' wollte ich jetzt fragen, ob das nun einfach so festgelegt wurde, weil f(U)= U gilt.
  ─   userf4fd70 17.09.2022 um 21:00

Danke für die Hilfe..
also weshalb wir f(v)*u= 0 zeigen, ist aus dem Grund, da wenn es eine orthogonale Abbildung ist, diesselbe Bedingung gilt: also für v1*v2 = f(v1)*f(v2) das definiert ja einerseits die orthogonalen Abbildungen.
Bezüglich des u‘ denke ich, finden wir eins, da es eins gibt, dass aus F(U)=U stammt..Also es soll ja ein u‘ geben, was die Bedingung von F(U)= U voraussetzt, und deswegen kann man villeicht einfach so ein u‘ wählen.. ist das so passend?
  ─   userf4fd70 17.09.2022 um 21:39

okay. achso ich verstehe, ich muss also erstmal zeigen, dass f(U)= U und f(U^⊥ )= U^⊥ gilt. Und später mache ich mit der orthogonalen Abbildung weiter.

Sei v ∈ U^⊥
Zz. f(v) aus U^⊥
f(v)*u = 0

Sei nun also u ∈ U
u*f(v) = 0

Da f(U)=U, d.h. u' ∈ U mit f(u') =u
Z.z. f(u') aus f(U)
u*f(v)=0

So sollte es erstmal passen, oder?
  ─   userf4fd70 17.09.2022 um 22:32

f(U) = U ist nicht zu zeigen, da es bereits die Vorraussetzung ist. Das hatte ich auch am Anfang in der Frage mitgeschrieben. Was ich zeigen muss, ist dass dann auch f(U^⊥) = U^⊥

Also gehe ich jetzt wieder zurück zum Anfang, anscheinend war es wieder verwirrend für mich.

Zum Beweis;

Sei v ∈ U^⊥
Zz. f(v) ∈ U^⊥
f(v)*u = 0
d.h. f(v) ∈ U^⊥

Sei u ∈ U.
Z.z. f(v)*u= 0
d.h. u ∈ U.

Es gilt: f(U) = U
Also finden wir: u' ∈ U mit f(u') = u
v*f(u') = v*u = 0


Notiz(Nicht Teil des Beweises)
Ich habe mich an mathejeans Muster gehalten, am ende soll ich den Orthogonalitätsbeweis nutzen. Das zeigt man, indem man zeigt, dass das Skalarprodukt 0 ist, Ich weiss jetzt nicht, was hieran noch falsch sein soll..Dann sollte doch der erste Teil geschafft sein.Wenn es nicht korrekt ist, dann ist es wohl doch zu spät, um jetzt noch eine Matheaufgabe zu lösen.


  ─   userf4fd70 18.09.2022 um 00:03

Ja, ich habe schon sehr viele gesehen und auch verstanden. Wenn ich sie sehe, ist es super verständlich für mich. Zum u, wo es herkommt, das orthogonale Komplement hat ja die Bedingung v*u= 0 und deswegen habe ich es so versucht. Aber der Beweis von mir ist noch nichz der komplette Beweis natürlich. Naja, auf jeden Fall, bedanke ich mich für die ganze Hilfe. Ich schaue mal einfach in der Uni, was ich machen kann.   ─   userf4fd70 18.09.2022 um 08:55

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Wenn du mit so viel Struktur nicht klar kommst, wir können es auch viel elementarer Beweisen: du hast bereits gesagt, dass orthogonale Abbildungen injektiv sind. Wir haben also eine injektive lineare Abbildung mit Start und Zielraum gleiche Dimension, also haben wir einen Isomorphismus. So kann man jetzt wegen der direkten Summe ganz leicht argumentieren, z.B. damit, dass Isomorphismen Basen auf Basen abbilden. Es ist dir natürlich überlassen, welche Idee du verfolgst.   ─   mathejean 18.09.2022 um 11:48

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Der zweite Beweis nutzt nur elementare lineare Algebra (typischer Stoff von LA1), während wir im ersten viel komplexere Situation haben mit euklidische Strukturen   ─   mathejean 18.09.2022 um 13:00

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Ich danke für die Hilfe. Insbesondere @mathejean, deine Erklärungen sind immer sehr hilfreich. Ich werde mich an einfachere Beweise setzen, so wie @mikn mir angeboten hat, und dann nochmals später auf die Aufgabe zurückkommen.   ─   userf4fd70 18.09.2022 um 19:52

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