Äquivalenzrelationen Reflexiv

Aufrufe: 52     Aktiv: 17.11.2021 um 13:27

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Folgende Frage ist gegeben:

"x und  y sind ungerade“ auf der Menge N≥1

Nun soll ich auf 
Äquivalenzrelation prüfen.

Also schaue ich ob Reflexivität vorliegt: aRa 


Ich habe es nun so verstanden dass ich nur Werte einsetzen kann, die der Bedingung "x und y ungerade" entsprechen. 1R1, 3R3, somit wäre die Funktion reflexiv. Lösung sagt aber für 2 nicht reflexiv.

Ist die Lösung falsch oder mache ich einen Denkfehler?


N≥1
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1 Antwort
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Eine Bedingung für eine Äquivalenzrelation auf einer Menge $M$ ist, dass $jedes\ Paar\ (a,a)$ mit $a\in M$ in der Relation enthalten ist.

Deine Menge ist hier \(\mathbb{N}\). $(2,2)$ ist aber nicht in R. Also 2R2 gilt nicht.
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Wenn ich aber jedes beliebte N einsetzen darf verstehe ich die nächste Aufgabe nicht:

„ x und y besitzen denselben Rest bei der Division durch zwei“ auf der Menge N ≥ 1"

Reflexiv ist klar.
Jedoch dann bei der Symmetrie: aRb -> bRa.

Warum darf ich hier jetzt nicht z.B. 5R4 einsetzen? Oben durfte ich ja auch 2 einsetzen, obwohl 2 zwar aus N, jedoch keine ungerade Zahl war?

Weil der Rest nicht 0 sein darf?
Ich hoffe du kannst mir helfen!
  ─   user778167 17.11.2021 um 12:33

Die Äquivalenzrelation ist immer auf einer Menge M definiert. Deswegen müsste für $2\in \mathbb{N}$ gelten, dass (2,2) in der Relation enthalten ist. Ist es aber nicht. Da kommt ja nur so etwas wie (1,1) und (1,7) oder (3,5) vor.
Es gilt doch $(5,4)\notin R$.
  ─   lernspass 17.11.2021 um 12:57

Hast Du den letzten Kommentar von mathejean auf Deine vorige Frage gelesen?
Es geht hier um eine WENN-DANN-Bedingung.
  ─   mikn 17.11.2021 um 13:00

In Wikipedia habe ich es so definiert gefunden. Vielleicht hilft dir das für das Verständnis:

"Eine Äquivalenzrelation auf einer Menge A ≠ ∅ ist eine zweistellige Relation ∼ ⊆ A × A, die folgende Bedingungen erfüllt:

Reflexivität
( a , a ) ∈ ∼ für alle a ∈ A

Symmetrie
( a , b ) ∈ ∼ ⟹ ( b , a ) ∈ ∼ für alle a , b ∈ A

Transitivität
( a , b ) ∈ ∼ und ( b , c ) ∈ ∼ ⟹ ( a , c ) ∈ ∼ für alle a , b , c ∈ A"

  ─   lernspass 17.11.2021 um 13:27

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