Partialbruchzerlegung

Erste Frage Aufrufe: 91     Aktiv: 23.06.2021 um 12:02

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1/(a*(b-a))= 1/b*(1/a - 1(b-a))

Wie komme ich auf die rechte Seite?
Habe bereits folgende Gleichung aufgestellt:

A*(b-a)+B*a=1 Wie gehe ich jetzt hier weiter vor. Also das ist bereits die Gleichung ohne den Hauptnenner. A und B sind meine Zählervariablen.

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Wir können den Ausdruck $\frac1{a(b-a)}$ als Funktion von $a$ mit Parameter $b$ betrachten, d.h. nach der Theorie der Partialbruchzerlegung gibt es solche Koeffizienten $A,B$ (die nicht von $a$ abhängen, sodass die Gleichung $$\frac1{a(b-a)}=\frac Aa+\frac B{b-a}\Longrightarrow Ba+A(b-a)=1$$ für alle $a$ gilt, soweit bist du ja glaube ich schon gekommen. Am einfachsten ist es jetzt, einzelne Werte für $a$ einzusetzen, die den Ausdruck vereinfachen. Ist $a=0$, dann vereinfacht sich deine Gleichung zu $Ab=1$, also $A=\frac1b$. Ist $a=b$, dann haben wir $Bb=1$, also $B=\frac1b$. Insgesamt ergibt sich damit $$\frac1{a(b-a)}=\frac{1/b}a+\frac{1/b}{b-a}=\frac1b\left(\frac1a+\frac1{b-a}\right),$$ in der Lösung müsste in der Klammer also ein $+$ statt einem $-$ stehen.
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