Dimensionsbegriff (Logik)

Aufrufe: 60     Aktiv: 11.03.2021 um 19:10

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Ich habe schon länger damit das in irgendeiner Form zu verstehen. Ein Punkt wird dargestellt durch eine eindeutige Zuordnung (x1 | y1), ein Punkt ist ja etwas 0-dimensionales, hat keine Ausbreitung in irgendeine Richtung. Das Problem, das ich jetzt habe: R2 (die zweite Dimension) sei so definiert, dass R2 die Menge aller Punkte (aller Zahletupel ist)). Wenn man jetzt z.B. ein Objekt aufspannt von {(0,0) bis (5,5)}, dann hat man quasi die Funktion R+ -> R+ bzw. x -> x (im x-Intervall [0;5], im Buch ist das eben jetzt so definiert, dass diese Menge an Punkten den R2 darstellt. Meiner Auffassung nach kann das aber gar kein 2-dimensionales Objekt sein (also kein R2, also keine Menge an Punkten)
Höchstens jedoch, wenn man alle Punkte im x-Intervall [0;5] bis y-Intervall [0;5] aufspannt.

So ist es dann weiterführend auch schwierig den Dimensionsbegriff der linearen Algebra zu fassen, wo ja dann quasi (0,5) als Tupel etwas 1-dimensionales ist und dann mit z.B. (5,0) etwas 2-Dimensionales bildet.

Es ist mir so oder so unverständlich, wie die Definitionen zu verstehen sind. Eine Funktion in einem bestimmten Intervall ist jedenfalls kein 2-Dimensionales Objekt, und daher auch nicht im R2

Vielen Dank :)
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Ersteinmal hat ein Tupel garkeine Dimension, sondern ein Vektorraum. Was das genau ist, solltest du ja aus der Linearen Algebra bereits wissen. Die Dimension eines Vektorraums ist nun die Anzahl der Basisvektoren. Für den \(K^2\) wären beispielsweise \((1,0),(0,1)\) eine Basis oder \((2,1),(1,0)\). Hingegen bilden die Vektoren \((2,1),(1,0),(3,3)\) zusammen keine Basis, da sie nicht linear unabhängig sind. Sie spannen zwar den \(K^2\) auf, sind aber nur ein Erzeugendensystem. Die Dimension ist hier also \(2\), da die Basen von \(K^2\) die Länge \(2\) haben.
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