Stammfunktion von folgender Funktion. Benötige Hilfe.

Erste Frage Aufrufe: 59     Aktiv: 21.11.2021 um 16:15

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Hallo liebe Community, ich hoffe es geht euch gut. 

Ich habe eine Frage bezüglich der Stammfunktion. Ich soll zeigen, dass die Funktion F mit F(x)=0,5(x-sin(x)×cos(x)) eine Stammfunktion von f(x)=sin²(x)=(sin(x))² ist.

Ich habe den Hinweis, das aufgrund des Satzes von Pythagoras im Einheitskreis folgendes gilt:

cos²(x) + sin²(x)=1

Ich bin recht fit beim Aufleiten und Ableiten, aber ich habe mit der Produktregel gearbeitet und komme da nicht weiter.
Könnt ihr mir bitte helfen?

Ich wünsche euch allen einen angenehmen und friedlichen Sonntag.
Mfg

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Wenn eine mutmaßliche Stammfunktion gegeben ist, verifiziert man das durch Ableiten. Mit Integrationsregeln hast Du also hier nichts zu tun.
Mit der Produktregel und dem Hinweis solltest Du glatt durchkommen. Sonst lade Deinen Rechenweg hoch, so weit wie Du gekommen bist. Dann schauen wir gemeinsam weiter.
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Lehrer/Professor, Punkte: 19.08K

 

Also ich habe zuerst die Stammfunktion mit der Produktregel abgeleitet und danach die Kettenregel angewendet.
Ich komme schlussendlich auf das Ergebnis von 0,5x -0,5cos²(x)+0,5sin²(x)×(1-2cos(x)+2sin(x)
Beim Vereinfachen dtimmt das aber nicht. Hmm
  ─   user264558 21.11.2021 um 15:47

Die Kettenregel braucht man da gar nicht und die Ableitung ist auch viel einfacher als Deine. Irgendwas ist da schief gegangen. Nur die Produktregel reicht.   ─   mikn 21.11.2021 um 16:15

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Hallo,
hier kannst du, wenn du ableiten willst, wie du selbst schon erwähnt hast, die Produktregel verwenden: \(F'(x)=0,5(1+\sin^2{x}-\cos^2{x}) \). Wenn du jetzt die gegebene Identität umstellst nach \(1-\cos^2{x}=\sin^2{x}\) und das einsetzt erhältst du \(f(x)=\sin^2{x}\). Zur Übung versuch vielleicht selber einmal f(x) zu integrieren um auf F(x) zu kommen (Stichwort: partielle Integration)
LG
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Student, Punkte: 1.2K

 

Danke für deine Antwort und für deine Zeit   ─   user264558 21.11.2021 um 15:48

Wie kann ich die gegebene Identität aber in F'(x) einsetzen. Bis dahin verstehe ich nun alles, aber danach nicht mehr.   ─   user264558 21.11.2021 um 15:57

du ersetzt das \(1-cos^2(x)\) mit \(sin^2(x)\). In der Klammer steht dann nicht mehr \(sin^2(x)+1-cos^2(x)\) sondern \(sin^2(x)+sin^2(x)=2sin^2(x)\)   ─   fix 21.11.2021 um 16:03

Okay jetzt habe ich verstanden. Vielen herzlichen Dank für deine Antwort und für deine Zeit.   ─   user264558 21.11.2021 um 16:07

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