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Ich habe den Sinus von Pi/3 und pi/4 schon gelöst. sin pi/3 mit dem sin(3x) theorem( selbst hergeleitet aus sin 2x) Und sin(pi/4)  mit sin (2x ) theorem ->1= sin (2*pi/4 )....

jetzt hab ich aber bei den anderen (sin pi/6... etc. ) Probleme die Ansätze zu finden da sie sich alle unterscheiden
wäre froh über ein paar werte ansätze zum lösen zu bekommen . danke

gefragt 1 Jahr her
eray278n
Punkte: 44

 
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1 Antwort
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Hallo!

 

Hier ein etwas anderer Ansatz:

 

\(\displaystyle  z := \mathrm{e}^{i\frac{\pi}{3}} \quad\Longleftrightarrow\quad 0 = z^3+1 = (z+1)(z^2-z+1)\). Da \(\displaystyle  z \neq -1\), folgt, dass \(\displaystyle  z^2 - z + 1 = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad z + \frac{1}{z} = 1\).

 

Dies ist aber äquivalent zu

 

\(\displaystyle  \mathrm{e}^{i\frac{\pi}{3}} + \mathrm{e}^{-i\frac{\pi}{3}} = 2\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = 1 \quad\Longleftrightarrow\quad \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}\).

 

Mit \(\displaystyle  \sin(x) = \sqrt{1-\cos^2(x)}\) erhält man, dass \(\displaystyle  \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}\).

 

Weiter gilt, dass

 

\(\displaystyle  \sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right) = \cos(x)\), also für \(\displaystyle  x = \frac{\pi}{3}\) erhält man

 

\(\displaystyle  \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}\).

 

Der Rest sollte sich von selber ergeben.

 

Gruß.

geantwortet 1 Jahr her
einmalmathe
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