Hallo!

Hier ein etwas anderer Ansatz:

\(\displaystyle  z := \mathrm{e}^{i\frac{\pi}{3}} \quad\Longleftrightarrow\quad 0 = z^3+1 = (z+1)(z^2-z+1)\). Da \(\displaystyle  z \neq -1\), folgt, dass \(\displaystyle  z^2 - z + 1 = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad z + \frac{1}{z} = 1\).

Dies ist aber äquivalent zu

\(\displaystyle  \mathrm{e}^{i\frac{\pi}{3}} + \mathrm{e}^{-i\frac{\pi}{3}} = 2\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = 1 \quad\Longleftrightarrow\quad \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}\).

Mit \(\displaystyle  \sin(x) = \sqrt{1-\cos^2(x)}\) erhält man, dass \(\displaystyle  \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}\).

Weiter gilt, dass

\(\displaystyle  \sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right) = \cos(x)\), also für \(\displaystyle  x = \frac{\pi}{3}\) erhält man

\(\displaystyle  \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}\).

Der Rest sollte sich von selber ergeben.

Gruß.