Verknüpfung von Zufallsvariablen

Aufrufe: 130     Aktiv: 17.10.2023 um 16:05
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Hallo!
Ich sitze gerade vor folgender Aufgabe:

Sei \(M\) eine Münze mit Kopfwahrscheinlichkeit \( p = \frac{1}{3} \), \(X\) eine stetige gleichverteilte Zufallsvariable auf dem Intervall  \([2,4]\) und  \(Y\) eine geometrische Zufallsvariable  \(Y \sim Geom(\frac{1}{2})\). M, X und Y sind unabhängig.
Eine Zufallsvariable  \(Z\) sei wie folgt definiert: die Münze  \(M\) wird geworfen. Wenn das Ergebnis Zahl ist, dann sei \(Z = X\). Wenn das Ergebnis Kopf ist, dann sei  \(Z = Y\).
Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion von \(Z\).

Ich habe die Verteilungsfunktionen von \(X\) und \(Y\) bereits bestimmt, und komme hier auf
\[F_X(y) = \int_{-\infty}^y f_x(u) du = \begin{cases}0 \text{ für } y < 2\\
\frac{1}{2}y - 1 \text{ für } 2 \leq y \leq 4\\
1 \text{ für } y > 4\end{cases} \]
bzw.
\[F_Y(k) = 1 - \frac{1}{2^{k+1}}\]
Ich hoffe das stimmt soweit mal?

Mein Problem ist jetzt: Wie kombiniere ich diese beiden Verteilungsfunktionen in Abhängigkeit von \(M\) zu \(Z\)? Kann ich die Verteilungsfunktion von \(M\) bestimmen und die drei dann einfach multiplizieren, da alle drei Zufallsvariablen ja unabhängig sind? WIe gehe ich dann aber damit um, dass \(X\) ja eine stetige Zufallsvariable, und \(Y\) eine diskrete Zufallsvariable ist?

Danke schonmal!
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Dein \(F_X\) ist korrekt.

Die Verknüpfung der Zufallsvariablen geht sehr einfach:
\(F_Z(z) = \frac{2}{3} F_X(z) + \frac{1}{3} F_Y(z)\)        (1).

Warum?
Nehmen wir irgendein \(z\in \mathbb{R}\). Es ist \(F_Z(z) = P(Z\le z)\).
\(P(Z\le z)\) kann man ganz elementar mit der Pfadmultiplikationsregel berechnen:
  • Pfad "Zahl": Dieser Pfad trägt \(P(M=\mbox{Zahl}) \cdot F_X(z) \; = \;\frac{2}{3} F_X(z) \) zu \(P(Z\le z)\) bei.
  • Pfad "Kopf": Dieser Pfad trägt \(P(M=\mbox{Kopf}) \cdot F_Y(z) \; = \;\frac{1}{3} F_Y(z) \) zu \(P(Z\le z)\) bei.
Summation dieser Pfade ergibt Gl. (1).

Gl. (1) verrät aber schon den Fehler, den Du gemachst hast: Dein \(F_Y\) ist nur auf \(\mathbb{N}_0\) definiert.
Du musst also Dein \(F_Y\)  auf \(\mathbb{R}\) erweitern.
Dazu ist folgende Funktion hilfreich:
\(\lfloor z \rfloor = \max\{m\in \mathbb{Z};\; m\le z\}\) = größte ganze Zahl, die kleiner gleich z ist.
Beispiele: \(\lfloor 2,66 \rfloor = 2,\;\lfloor 2 \rfloor = 2,\;\lfloor -1,29 \rfloor = -2.\)
Dann kann man schreiben: \(\displaystyle \large F_Y(z) = 1-\frac{1}{2^{\lfloor z \rfloor +1}}\).
Das gilt aber nur für \(z\ge 0\), d.h. Du musst die obige Definition korrekt für \(z<0\) erweitern.
Mit diesen \(F_Y\), Deinem \(F_X\) und Gl. (1) erhälst Du \(F_Z\).

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Super, vielen Dank für die Antwort! Dass ich die floor-Funktion brauche um die beiden verknüpfen zu können hab ich mir inzwischen schon gedacht, ansonsten war das genau der Anstoß der mir gefehlt hat, ich hab die Aufgabe jetzt lösen können.   ─   hetg5 17.10.2023 um 16:03

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