Dein \(F_X\) ist korrekt.

Die Verknüpfung der Zufallsvariablen geht sehr einfach:
\(F_Z(z) = \frac{2}{3} F_X(z) + \frac{1}{3} F_Y(z)\)        (1).

Warum?
Nehmen wir irgendein \(z\in \mathbb{R}\). Es ist \(F_Z(z) = P(Z\le z)\).
\(P(Z\le z)\) kann man ganz elementar mit der Pfadmultiplikationsregel berechnen:

• Pfad "Zahl": Dieser Pfad trägt \(P(M=\mbox{Zahl}) \cdot F_X(z) \; = \;\frac{2}{3} F_X(z) \) zu \(P(Z\le z)\) bei.
• Pfad "Kopf": Dieser Pfad trägt \(P(M=\mbox{Kopf}) \cdot F_Y(z) \; = \;\frac{1}{3} F_Y(z) \) zu \(P(Z\le z)\) bei.

Summation dieser Pfade ergibt Gl. (1).

Gl. (1) verrät aber schon den Fehler, den Du gemachst hast: Dein \(F_Y\) ist nur auf \(\mathbb{N}_0\) definiert.
Du musst also Dein \(F_Y\)  auf \(\mathbb{R}\) erweitern.
Dazu ist folgende Funktion hilfreich:
\(\lfloor z \rfloor = \max\{m\in \mathbb{Z};\; m\le z\}\) = größte ganze Zahl, die kleiner gleich z ist.
Beispiele: \(\lfloor 2,66 \rfloor = 2,\;\lfloor 2 \rfloor = 2,\;\lfloor -1,29 \rfloor = -2.\)
Dann kann man schreiben: \(\displaystyle \large F_Y(z) = 1-\frac{1}{2^{\lfloor z \rfloor +1}}\).
Das gilt aber nur für \(z\ge 0\), d.h. Du musst die obige Definition korrekt für \(z<0\) erweitern.
Mit diesen \(F_Y\), Deinem \(F_X\) und Gl. (1) erhälst Du \(F_Z\).