Hallo,

meinst du wie man die Koordinatenform in die Parameterform umwandelt und umgekehrt?

In der Zeichenebene, also im \( \mathbb{R}^2 \) hat die Parameterform einer Geraden die Form

$$ \vec{x} = \vec{O} + t \vec{r} $$

Mit \( \vec{O} \) dem Ortsvektor und \( \vec{r} \) dem Richtungsvektor. Die Koordinatenform hingegen hat die Form

$$ ax+by = c $$

1) Von Parameterform in Koordinatenform:

Die Koeffizienten \( a \) und \( b \) sind die Koordinaten des Normalenvektors der Geraden. Ist das klar?
Wir bestimmen also den Normalenvektor der Gerade. Dafür nehmen wir uns den Richtungsvektor der Geraden.

$$ \vec{r} = \begin{pmatrix} r_1 \\ r_2 \end{pmatrix} $$

Der senkrechte Vektor zu einem Vektor in \( \mathbb{R}^2 \) ist leicht bestimmt über

$$ \vec{n} = \begin{pmatrix} -r_2 \\ r_1 \end{pmatrix} $$

denn

$$ \vec{r} \cdot \vec{n} = -r_1r_2 + r_1r_2 = 0 $$

Damit gilt schon mal 

$$ a = -r_2 , \quad b = r_1 $$

Wir müssen also nur noch \( c \) bestimmen. Dafür setzen wir nun den Ortsvektor ein

$$ -r_2x + r_1y = c \Rightarrow -r_2 \cdot O_1 + r_1 \cdot O_2 = c $$

Damit haben wir die zugehörige Koordinatenform gefunden.

2) von Koordinatenform in Parameterform:

Wir können das Prinzip leicht umkehren. Wir suchen zuerst den Richtungsvektor. Wir wissen, dass \( a \) und \( b \) die Koeffizienten des Normalenvektors sind. Also suchen wir den Normalenvektor zum Normalenvektor (unseren Richtungsvektor). Ist das verständlich? 

Damit ergibt unser Richtungsvektor

$$ \vec{r} = \begin{pmatrix} -b \\  a \end{pmatrix} $$

Wir benötigen nun nur noch den Ortsvektor. Das bedeutet aber, wir brauchen einfach nur irgendeinen Punkt der auf unserer Geraden liegt. Dafür setzt du am Besten eine der beiden Variablen gleich Null und bestimmst dann die zugehörige andere Koordinate. 

Grüße Christian