Question

Polstellen - Nullstellen

Aufrufe: 689 Aktiv: 27.11.2020 um 11:13

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Hallo,

ich verstehe den Unterschied zwischen Polstellen und Nullstellen nicht.

Ist das Verfahren zur Bestimmung das Gleiche? Null setzen, nach x auflösen usw.....

Und wann benötige ich die Polynomdivision?

Hab ich das richtig verstanden, dass man eine Polstelle NUR unter zwei Bedingungen erhält:

1. Man hat eine gebrochen rationale Funktion (Zähler und Nenner mit x)

2. Man setzt den Nenner 0, rechnet x aus und hat einen ANDEREN x-Wert im Nenner als im Zähler. Sonst hat man eine hebbare Definitionslücke? Und dann zeichnet man die Polstelle in Form einer Asymptote ein, z.B. x = 2 und meine Asymptote läuft durch den x-Wert 2; der Graph schmiegt sich von beiden Seiten an?

Gibt es noch andere Möglichkeiten, dass ein Graph so aussieht oder muss es sich dabei immer um gebrochen rationale Funktionen handeln?

Danke für eure Hilfe, vielleicht kann jemand Licht ins Dunkel bringen!

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gefragt 27.11.2020 um 09:57

mathwork
Student, Punkte: 111

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1 Antwort

slanack · Accepted Answer · 2020-11-27T11:13:08Z

Ja, es gibt einen engen Zusammenhang zwischen Polstellen und Nullstellen. Hat eine rationale Funktion \(f\) in \(x_0\) eine isolierte Nullstelle, dann hat die Funktion \(\frac{1}{f(x)}\) dort eine Polstelle, und umgekehrt.

Polynomdivision ist für die Bestimmung der Nullstellen und Polstellen nicht nötig.

1. Nicht ganz richtig; es reicht, wenn nur der Nenner von \(x\) abhängt. Z.B. hat \(\frac1x\) in \(0\) eine Polstelle.

2. Das Entscheidende ist, dass die Nullstelle \(x_0\) im Nenner, um die es geht, eine höhere Vielfachheit (Ordnung) hat als im Zähler, falls \(x_0\) auch eine Nullstelle des Zählers ist. Den Graphen hast Du richtig beschrieben.

Es gibt auch andere Funktionen als gebrochen rationale Funktionen, die Polstellen besitzen. Z.B. hat die Funktion \(\frac1{\sin x}\) in \(0\) eine Polstelle, und der Graph der Funktion sieht in der Nähe von \(0\) ähnlich aus wie der von \(\frac1x\).