Du hast zwar die Fallunterscheidung in der 3. Zeile gemacht, aber nicht die entsprechende Überschrift/Bedingung dafür notiert: Linke Spalte \(x>1\), über die beiden rechten Spalten \(x<1\).
Diese Bedingungen müssen auch eingebracht werden. Sonst sieht Dein Vorgehen ordentlich aus, damit wirst Du vermutlich allein auf das richtige Ergebnis kommen.
Weiteres: \(x^2>-3\) ist kein Widerspruch, sondern im Gegenteil für alle x erfüllt.
Tipps: Du merkst ja selbst, dass Du einiges doppelt rechnest.
Generell: Arbeite mit der Zahlengeraden. Diese wird durch die beiden Lücken in drei Teile geteilt, das gibt drei Fälle. Die Bedingung dafür notieren und dann diese drei Fälle ausgehend von der Originalungleichung durchrechnen. Das ist schonmal ein Fall weniger zu rechnen, und viel übersichtlicher und damit sicherer.
Auch mit der Zahlengeraden geht die Umstellung von \(|x-1|<2\) viel schneller: Das bedeutet, x hat auf der Zahlengeraden von 1 einen Abstand kleiner als 2, damit ist sofort klar: \(-1<x<3\), ohne jede Rechnung.

Wenn man Ungleichungen mit negativen Werten (auf beiden Seiten) multipliziert, dann ändert sich die Relation.(BSP: 3 <5 aber -3> -5).
Du musst also aufpassen wenn du mit x-1 multiplizierst (ganz am Anfang). Was du gemacht hast , ist nur richtig für x > 1.
Wenn du für x<1 multiplizierst, kehrt sich die Relation um. Also schon hier Fallunterscheidung.