Du beginnst damit, die Konvergenz der Folge \((n)\) zu untersuchen, indem du annimmst, dass sie gegen einen Grenzwert \(L\) konvergiert. Das ist ein klassischer Ansatz, um Konvergenz zu prüfen: Man nimmt an, sie existiert, und sucht dann nach einem Widerspruch.

 

Die Definition der Konvergenz hast du richtig erfasst: Wenn \(\lim_{n \to \infty} n = L\), dann bedeutet das, für jedes \(\varepsilon > 0\) gibt es ein \(N \in \mathbb{N}\), so dass für alle \(n \geq N\), \(|n - L| < \varepsilon\) gilt.

 

Der Teil, wo du etwas durcheinander kommst, ist, wenn du sagst: \(|(n+1) - L| < |n - L| < \varepsilon\). Hier scheinst du eine Art Ungleichungskette aufstellen zu wollen, aber das funktioniert so nicht. Die Annahme, dass \(|(n+1) - L| < |n - L|\) ist, ist nicht notwendigerweise wahr und auch nicht hilfreich für deine Argumentation.

 

Stattdessen könntest du folgendermaßen argumentieren: Die Folge \((n)\) wächst unbeschränkt, das heißt, sie wird immer größer und größer. Wenn \(L\) der Grenzwert der Folge wäre, müsste es für jedes \(\varepsilon > 0\) ein \(N\) geben, so dass für alle \(n \geq N\), der Abstand \(|n - L|\) kleiner als \(\varepsilon\) ist. Aber egal, wie groß du \(L\) wählst, wegen der Unbeschränktheit der Folge wird es immer ein \(n\) geben, das größer als \(L + \varepsilon\) ist. Das widerspricht der Definition der Konvergenz, also kann die Folge \((n)\) nicht konvergieren.

 

Deine Grundidee, einen Widerspruch zu finden, ist also richtig, aber der Weg dahin muss ein wenig anders gestaltet werden.