Divergenzbeweis mit Folgen

Aufrufe: 251     Aktiv: 04.01.2024 um 17:22

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Ich sollte zeigen, das die Folge (n) nicht konvergiert. Also das Lim(n) nicht existiert.

Mein Ansatz:
Angenommen (n) konvergiert, d.h. 
*Wir definieren zuerst L := Lim(n)

lim(n) = L <=> Für alle ε > 0, ex. ein N aus |N (Natürliche Zahlen), wobei für 
 ≥  N: |n - L| < ε, gilt.
Nun wissen wir (n) ist streng-monoton steigend, d.h. für alle n aus |N gilt:
n < n + 1.
D.h. |(n+1) - L| < |n - L| < ε.
Wenn auf beiden Seiten +L, dann folgt:
n + 1 < n. Das ist ein Widerspruch & damit keine Konvergenz.
Ist das so korrekt?

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crosspost mit mathelounge, wie gehabt...   ─   mikn 24.11.2023 um 15:07

was ist daran so schlimm, wenn ich verschiedene Ansichten wissen möchte   ─   user88de87 24.11.2023 um 15:22

Wenn Du es transparent machen würdest. Aber tust Du ja bewusst nicht. Hast Du den FAQ gelesen? Auch die sonstigen Spielregeln ignorierst Du bisher.   ─   mikn 24.11.2023 um 15:25
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Du beginnst damit, die Konvergenz der Folge \((n)\) zu untersuchen, indem du annimmst, dass sie gegen einen Grenzwert \(L\) konvergiert. Das ist ein klassischer Ansatz, um Konvergenz zu prüfen: Man nimmt an, sie existiert, und sucht dann nach einem Widerspruch.
 
Die Definition der Konvergenz hast du richtig erfasst: Wenn \(\lim_{n \to \infty} n = L\), dann bedeutet das, für jedes \(\varepsilon > 0\) gibt es ein \(N \in \mathbb{N}\), so dass für alle \(n \geq N\), \(|n - L| < \varepsilon\) gilt.
 
Der Teil, wo du etwas durcheinander kommst, ist, wenn du sagst: \(|(n+1) - L| < |n - L| < \varepsilon\). Hier scheinst du eine Art Ungleichungskette aufstellen zu wollen, aber das funktioniert so nicht. Die Annahme, dass \(|(n+1) - L| < |n - L|\) ist, ist nicht notwendigerweise wahr und auch nicht hilfreich für deine Argumentation.
 
Stattdessen könntest du folgendermaßen argumentieren: Die Folge \((n)\) wächst unbeschränkt, das heißt, sie wird immer größer und größer. Wenn \(L\) der Grenzwert der Folge wäre, müsste es für jedes \(\varepsilon > 0\) ein \(N\) geben, so dass für alle \(n \geq N\), der Abstand \(|n - L|\) kleiner als \(\varepsilon\) ist. Aber egal, wie groß du \(L\) wählst, wegen der Unbeschränktheit der Folge wird es immer ein \(n\) geben, das größer als \(L + \varepsilon\) ist. Das widerspricht der Definition der Konvergenz, also kann die Folge \((n)\) nicht konvergieren.
 
Deine Grundidee, einen Widerspruch zu finden, ist also richtig, aber der Weg dahin muss ein wenig anders gestaltet werden.
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