Ein Konflikt zwischen Mengenlehre und klassischer Mathematik?

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Die Zahl der Stammbrüche zwischen x und 0 wird nach ZF durch die Stufenfunktion SBZ(x) (StammBrüche Zwischen 0 und x) angegeben und besitzt eine unendlich große Stufe bei 0:

 

SBZ(x) = ℵo für x > 0

SBZ(x) = 0 für x ≤ 0

 

Nach der klassischen Mathematik nimmt die Zahl der Stammbrüche nur gemächlich auf 0 im Punkte 0 ab, nämlich in jedem Punkt 1/n um genau 1, denn

 

∀∈ ℕ: 1/n - 1/(n+)1= 1/(n*(n+1)) > 0 .

 

Ist ℵo verschieden von 1?

Wenn ja, welche Aussage ist richtig?

 

Gruß, WM

EDIT vom 16.03.2023 um 22:38:

Diese Gleichung enthielt leider einen Tippfehler:
∀n∈ ℕ: 1/n - 1/(n+)1= 1/(n*(n+1)) > 0 .  (*)
Nach der Korrektur sollte jeder Leser erkennen können, dass zwischen zwei benachbarten Stammbrüchen stets eine endliche Strecke liegt, also jedenfalls mehrere Punkte, für die die Funktion SBZ(x) konstant bleibt. Würde die Funktion zwischen SBZ(0) = 0 und SBZ(x) = 2 oder SBZ(x) = ℵo nicht den Wert SBZ(x) = 1 annehmen, so wären die ersten 2 oder ℵo Stammbrüche nicht durch Punkte mit konstantem Funktionswert getrennt. Das ist mit (*) unverträglich.

EDIT vom 17.03.2023 um 13:05:

Diese Frage enthält keine Unstimmigkeiten, aber einige Leser schäme sich wohl, so dumm reagiert zu haben und möchten diese Texte lieber nicht meher sehen.
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Ich habe eine fast identische Frage schonmal mit dir diskutiert (leider wurde die gelöscht) aber ich mache es gerne noch einmal. Formuliere bitte deine Aussagen mathematisch präzise. Da du auf eine Grundsatzdiskussion hinaus willst, ist es besonders wichtig, dass du deine - vielleicht von der Standardliteratur abweichenden - Definitionen angibst.  Zum Beispiel die Aussage "... nimmt die Zahl der Stammbrüche nur gemächlich auf 0 im Punkte 0 ab" ist leider nicht vewertbar. Danach zeigst du, dass der Abstand zwischen zwei Stammbrüchen niemals $0$ wird(?), aber beliebig klein. 

Insbesonders solltest du das "Axiom of choice" besser diskutieren, worauf es denke ich hinaus läuft.

 

$\aleph_0$ ist die Kardinalität der natürlichen Zahlen und somit größer als $1$.

 

 

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Schau dir mal sein Profil an und google seinen Namen. :)   ─   cauchy 13.03.2023 um 16:35
Ist das jemand, der sich als Wolfgang Mückenheim ausgibt und Fragen zu dessen "Forschung" stellt in einem Forum, dessen Fokus ehr auf Schulmathematik liegt? Kannst du dir nicht ausdenken...   ─   crystalmath 13.03.2023 um 16:50
Oder ist er "der Echte" und versucht sein Gedankengut hier zu verbreiten auf wirre Art und Weise? Ebenfalls komplett wild.   ─   crystalmath 13.03.2023 um 16:52
@crystalmath: "Gemächlich" ist natürlich eine poetische Umschreibung der mathematischen Gegebenheiten. Die oben definierte Funktion SBZ(x) ändert sich in jedem Punkt 1/n um 1 und ist zwischen zwei solchen Punkten konstant. Falls jemand die Stufen ablehnt, weil ℵo - 1 = ℵo, so kann man SBZ(x) auch als Mengenfolge deklarieren. Sie nimmt mit abnehmendem x in jedem Punkt 1/n um einen Stammbruch ab. Sie kann wegen ∀∈ ℕ: 1/n - 1/(n+)1= 1/(n*(n+1)) > 0 niemals um mehr als einen Stammbruch in einem Punkt abnehmen, kann also nicht für alle x > 0 unendlich viele Stammbrüche enthalten, unmittelbar bevor die leere Menge bei x = 0 erreicht wird. Das ist nach der klassischen Mathematik nicht möglich.   ─   wm 13.03.2023 um 18:20
@crystalmath: Mit dem AC hat dies nichts zu tun, denn es geht um eine abzählbare Menge.   ─   wm 13.03.2023 um 18:24
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Ich sehe ehrlich gesagt immer noch nicht das Problem - im Intervall $(0,x)$ für $x>0$ gibt es immer abzählbar unendlich viele Stammbrüche. Jedes $n> \frac{1}{x}$ liefert einen solchen Stammbruch $\frac{1}{n}>0$. Also gibt es abzählbar unendlich viele Stammbrüche, die zwischen $0$ und $x$ liegen.

Die Funktion $SBZ(x)$ weißt jedem Punkt eine Kardinalität oder Menge zu. Im Falle der Kardinalität ist es egal, da sie sich lediglich um maximal $1$ Stammbruch ändern kann in einem Punkt (außer eben in $0$), wie du richtig gesagt hast. Falls diese jedem Punkt eine Menge zuweist, so wird diese Menge jedesmal kleiner, jedoch bleibt sie abzählbar unendlich. Stetigkeit (dafür bräuchte man sowieso erstmal eine Topologie) im Punkt $x=0$ kann man hier auch nicht erwarten meiner Meinung nach. Sprich eine Aussage wie "$\lim_{x \to 0}SBZ(x) \neq SBZ(0)=0$" gilt nicht.

Mich beschwebt auch das ungute Gefühl, gerade getrollt zu werden.

   ─   crystalmath 13.03.2023 um 18:59
Es geht nicht um einen Limes, sondern um konkrete Stammbrüche. Dazu habe ich die folgende dezidierte Meinung:
Wenn irgendein Satz die Basisbedingung ∀∈ ℕ: 1/n - 1/(n+1)= 1/(n*(n+1)) > 0 verletzt, dann ist dieser Satz falsch und daher abzuschaffen. Diese Richtlinie ist nicht verhandelbar.

Die Funktion SBZ(x) hat bei x = 0 den Wert 0. Sie kann mit wachsendem x nicht wachsen, ohne den Wert 1 angenommen zu haben. Andernfalls wäre die Basisbedingung verletzt.
   ─   wm 13.03.2023 um 22:35
Warum sollte die $SBZ$ Funktion den Wert $1$ annehmen? Sie macht einen Sprung und ist Abschnittsweise defininiert und hat muss keinem Zwischenwertsatz gehorchen. Nimm mal die Heaviside Funktion: Diese nimmt auch nur 2 Werte an, aber keinen daziwschen an.   ─   crystalmath 14.03.2023 um 00:13
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Trotzdem lässt sich fast immer jemand auf eine Diskussion mit wm ein   ─   maqu 14.03.2023 um 07:19
Ich habe einfach Hoffnung gehabt, dass es sich um ein verirrten Hobbymathematiker handelt...   ─   crystalmath 14.03.2023 um 09:45
Warum sollte SBZ den Wert 1 annehmen??? Ist das eine echte Frage? Dann will ich es Dir erklären: Würde SBZ von 0 bei 0 auf k > 1 bei irgendeinem x > 0 steigen, ohne zwischenein den Wert 1 angenommen zu haben, so lägen k > 1 Stammbrüche auf demselben Punkt der reellen Achse. Das ist nicht möglich, weil die Stammbrüche in keinem Punkt der reellen Achse ohne gegenseitige endliche Abstände existieren. Das hat nichts mit speziellen Funktionen zu tun, sondern mit einer für alle natürlichen Zahlen gültigen Bedingung, nämlich dieser:
∀∈ ℕ: 1/n - 1/(n+1) = 1/(n*(n+1)) > 0 ,   ─   wm 14.03.2023 um 11:00
@wm Die SBZ Funktion nimmt den Wert 1 nicht an, da die Stammbrüche beliebig konzentriert sein können, jedoch ihr Abstand immer jedes Quantum unterschreitet. Das ganze ist wie ein Atom, was man immer wieder spaltet kann und es immer wieder ein kleinstes Elementarteilchen gibt. :-)))))
   ─   crystalmath 14.03.2023 um 12:12
So klein die Abstände auch werden, sie sind niemals 0. So weit geht die Konzentrierung nicht. Jedes Glied der Folge 1/n^2 ist endlich Auch wenn man immer weiter spaltet, so bleibt der Abstand jedenfalls endlich. Möchtest Du diese Basis der Mathematik verleugnen, um die Mengenlehre zu behalten? Ich tue es nicht.   ─   wm 14.03.2023 um 13:30
"Die Basis der Mathematik verleugnen" (was auch immer das ist für dich) sagt die Person, die nichtmal sauber alles definiert in der Frage. Die Diskussion ist hiermit beendet von meiner Seite her, aber vielleicht hast du ja auf anderen Seiten mehr Erfolg.   ─   crystalmath 14.03.2023 um 14:04
Präzise Definitionen fordern, aber von "beliebig konzentriert" schwafeln, und wenn die Lage ausweglos wird, abschalten, Die typische Reaktion eines Mathematikbeflissenen. ∀∈ ℕ: 1/n - 1/(n+1) = 1/(n*(n+1)) > 0 ist eine Basis der Mathematik! Natürlich wird der Abstand kleiner als jede denkbare Zahl. Trotzdem bleibt er stets endlich, besteht daher aus vielen Punkten.   ─   wm 14.03.2023 um 17:09
Die zig mal wiederholte Bedingung war bisher nicht einmal mathematisch korrekt. Das sagt schon alles.   ─   cauchy 14.03.2023 um 17:38
Das Geschwafel von mir war eine Parodie auf deine - Zitat - "poetische Umschreibung" und fehlende mathematische Präzission. Daher auch der Smiley am Ende.   ─   crystalmath 14.03.2023 um 17:51
@cauchy: Was hast Du denn daran auszusetzen, einen Tippfehler oder die Bedeutung, die Du wohl auch bei inkorrekter Schreibweise erfassen kannst?   ─   wm 14.03.2023 um 18:58
@wm: Du tust so als wäre es selbstverständlich, dass SBZ den Wert 1 annehmen muss, dabei ist genau dies die Stelle, die du nicht mathematisch präzise begründen kannst. Du schreibst wörtlich: "Würde SBZ von 0 bei 0 auf k > 1 bei irgendeinem x > 0 steigen, ohne zwischenein den Wert 1 angenommen zu haben, so lägen k > 1 Stammbrüche auf demselben Punkt der reellen Achse." Warum sollte diese Implikation gelten? Hier fehlt ein strenger mathematischer Beweis.   ─   42 15.03.2023 um 01:09
Ich kann die Formel lesen. Sie genügt für die Richtigkeit der Implikation. Sie beweist, dass niemals zwei oder mehr Stammbrüche auf derselben Stelle der reellen Achse liegen, denn nur dann könnte SBZ(x) ohne Zwischenschritt von 0 auf mehr als 1 steigen. Zwischen zwei benachbarten Stammbrüchen ist stets eine Strecke, also mehrere Punkte auf denen sich SBZ(x) nicht ändert. Und mehr bedarfs nicht.
Übrigens, würde das nicht gelten und Stammbrüche zuhauf gleich nach der Null zusammengeklebt liegen, dann wären auch ihre Reziproken, die natürlichen Zahlen vor omega zusammengeklebt und eine Abzählung mit ihrer Hilfe wäre auch unmöglich. .Die Mengenlehre ist also so oder so nicht zu retten   ─   wm 15.03.2023 um 11:07
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@wm. Du schreibst: "Ich kann die Formel lesen. Sie genügt für die Richtigkeit der Implikation." Das ist aber nicht so. Die Formel beweist, dass nicht mehrere Stammbrüche an einer Stelle auftreten können. Das ist auch völlig richtig. Die Lücke in deinen Ausführungen tritt jedoch vorher auf, und zwar bei: "Würde SBZ von 0 bei 0 auf k > 1 bei irgendeinem x > 0 steigen, ohne zwischenein den Wert 1 angenommen zu haben, so lägen k > 1 Stammbrüche auf demselben Punkt der reellen Achse." Es geht hier also um die Implikation

\( SBZ(x_0) > 1 \) für ein \( x_0 > 0 \) und \( SBZ(x) \neq 1 \) für alle \( x \in [0,x_0] \) \( \Rightarrow \) Es existieren mehrere Stammbrüche an einem Punkt.

Dafür müsstest du einen Beweis liefern.   ─   42 15.03.2023 um 11:37
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"Ich kann die Formel lesen. Sie genügt für die Richtigkeit der Implikation."

Wer als Mathematiker SO argumentiert, kann einfach nicht ernst genommen werden!

https://groups.google.com/g/de.sci.mathematik/c/NkFcAv34mFE

Es ist doch einfach nur unterhaltsam. :D

Ich zitiere mal das Beste: Wenn es zwischen jedem Punkt x > 0 und 0 ℵo-unendlich viele Stammbrüche gibt, dann gibt es auch ℵo-unendlich viele Stammbrüche, die zwischen jedem Punkt x > 0 und 0 liegen.

Die Aussage sagt genau eins aus: Nämlich nichts! Das ist als würde ich sagen: Wenn es morgen regnet, dann regnet es morgen.   ─   cauchy 15.03.2023 um 11:44
Bin mir relativ sicher, dass dieser User ein Troll ist. Ein erfolgreicher Troll, da ich auch mit ihm diskutiert habe und mich es immer noch in den Fingern juckt.   ─   crystalmath 15.03.2023 um 17:54
∀n ∈ ℕ: 1/n - 1/(n+1) = 1/(n*(n+1)) > 0
erschlägt alles. Nach *jedem* Stammbruch folgt eine Strecke, die mehrere Punkte enthält, die denselben Funktionswert haben.
   ─   wm 15.03.2023 um 23:34
@cauchy: Hast Du noch niemals von Quantorenvertauschung gehört? Wenn für jeden Topf ein Deckel passt, dann bedeutet das nicht, dass ein Deckel für jeden Topf passt. Im Falle meiner Aussage ist diese Vertauschung aber möglich, weil die Stammbrüche in einem linearen System existieren.   ─   wm 16.03.2023 um 09:13
@42: Du akzeptierst, dass nicht mehrere Stammbrüche an einer Stelle auftreten können. "Das ist auch völlig richtig." Würde die Funktion SBZ für x' den Wert 2 erreichen, ohne vorher den Wert 1 angenommen zu haben (vorher also SBZ(x) = 0 für x < x'), so wäre das ein Beweis für die Existenz von zwei Stammbrüchen bei x'. Siehst Du eine Alternative?   ─   wm 16.03.2023 um 09:27
Bitte meldet diese Frage und füttert nicht die Trolle, danke.   ─   crystalmath 16.03.2023 um 11:51
@wm: Ja, natürlich sehe ich da eine Alternative. Ist \( SBZ(x) = 0 \) für \( x < x^\prime \) und \( SBZ(x^\prime)=2 \), so würde das lediglich bedeuten, dass für jedes \( y < x^\prime \) zwei Stammbrüche im Intervall \( [y, x^\prime] \) existieren. Daraus folgert man dann leicht einen Widerspruch, aber die Aussage, dass \( SBZ \) den Wert \( 2 \) annimmt hat ja auch keiner behauptet. Die ursprüngliche Aussage war ja, dass \( SBZ(x) = \aleph_0 \) für \(x>0\) und \( SBZ(0)=0 \) ist. Das bedeutet dann einfach nur, dass für jedes \( y > 0 \) unendlich viele Stammbrüche im Intervall \( [0,y] \) liegen. Und das willst du ja wohl nicht bestreiten, oder?

Hier ist auch noch mal ein anderes Beispiel, um sich das klarzumachen: Wir betrachten die Funktion \( f:[0,1] \to \{0,1\} \), definiert durch
\( f(x) = \begin{cases} 0, & \text{im Intervall \( [x,1] \) liegen nur endlich viele Stammbrüche}, \\ 1, & \text{im Intervall \( [x,1] \) liegen unendlich viele Stammbrüche}. \end{cases} \)
Diese Funktion erfüllt \( f(x)=0 \) für \( x>0 \) und \( f(0)=1 \). Bedeutet das jetzt, dass im Punkt \( 0 \) unendlich viele Stammbrüche liegen? Nö! Das bedeutet nur, dass für jedes \( y > 0 \) zwischen \( 0 \) und \( y \) unendlich viele Stammbrüche liegen müssen. Und das lässt sich ja wohl nicht bestreiten, oder?   ─   42 16.03.2023 um 12:16
@crystalmath: Ach, ich finde die Diskussion eigentlich ganz erheiternd ;D   ─   42 16.03.2023 um 12:18
Ich schreibe mal die Antwort im wm-Stil: Damit verleugnest du wohl, dass die Stammbrüche unendlich oft an einem Punkt auftreten, da sie beliebig nah aneinander rücken. Ich gebe nicht die Prinzipien der Mathematik auf, tust du dies?   ─   crystalmath 16.03.2023 um 12:38
@42: dass für jedes y > 0, *das man wählen kann*, unendlich viele Stammbrüche im Intervall [0, y] liegen, ist klar. Das beweist ja gerade die Behauptung, dass es dunkle Zahlen gibt, die individuell nicht weiter analysiert werden können. https://www.researchgate.net/publication/365605468_Proof_of_the_existence_of_dark_numbers_bilingual_version   ─   wm 16.03.2023 um 22:53
@crystalmath: Beliebig nahe ist nicht der Abstand Null. Kein Stammbruch hat den Abstand Null zu einem Nachbarn.   ─   wm 16.03.2023 um 22:55
@42: Erklärung: Ich habe diese ganze Geschichte erfunden, um zu zeigen, dass man nicht alle natürlichen Zahlen verwenden kann, wie es viele Mathematiker behaupten: Jede natürliche Zahl hat unendlich viele Nachfolger. Trotzdem kann man alle verwenden. Das ist falsch, aber vor omega nicht so leicht verständlich. Mit Hilfe der Reziproken, also der Stammbrüche, wird klar, dass man nicht alle verwenden kann, sondern nur solche y wählen kann, die schon unendlich viele Stammbrüche im Intervall (0, y) einschließen, obwohl diese alle an verschiedenen Punkten der reellen Achse liegen.   ─   wm 17.03.2023 um 08:15
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Warum ist die Frage wieder da, nimmt das denn kein Ende hier?😒   ─   maqu 17.03.2023 um 09:32
Anscheinend taucht die Frage wieder auf, wenn der Autor sie bearbeitet.

Wenn man im Ruhestand nichts besseres zu tun hat, erzählt man halt irgendeinen Müll im Internet und plötzlich tauchen aus der unendlichen Ferne irgendwelche $\omega$ auf und natürliche Zahlen sind plötzlich nicht mehr verwendbar. Die wurden bestimmt von diesem bösen $\omega$ gefressen. :( Ruhet in Frieden natürliche Zahlen!   ─   cauchy 17.03.2023 um 14:04
@cauchy Dieser Account ist glaube ich NICHT Wolfgang Mückenheim selbst. da er nichtmal die Argumente aus seinen "eigenen Papern" richtig erklären und wiedergeben kann. Weiterhin wiederholt er dasselbe Argument immer wieder ohne es je zu belegen.   ─   crystalmath 17.03.2023 um 23:56
Hast du mal die Diskussionen im Netz verfolgt? Da ist er nicht besser und da gibt es einige. Was meinst du, warum er sich überall so lächerlich macht? Aus diesem Grund ist er nicht ernst zu nehmen.   ─   cauchy 18.03.2023 um 01:24
Beleg: Für x < 0 ist die Funktion SBZ(x) = 0. Für x > 0 ist die Funktion SBZ(x) > 0. Die Funktion wächst also von 0 auf positive Werte, Da alle Stammbrüche durch endliche Strecken getrennt sind, kann dieses Wachstum nicht stattfinden, ohne dass SBZ(x) = 1 vorkommt.   ─   wm 18.03.2023 um 23:03
Das ist kein Beleg, weil völlig unklar ist, warum das Wachstum nicht stattfinden können sollte. Außerdem ist unklar, warum es dann ein $x$ mit $\mathrm {SBZ} (x) =1$ geben muss.   ─   cauchy 18.03.2023 um 23:48
Ich weiß nicht, was Du für Vorstellungen von Beweisen hast. Wenn alle Stammbrüche durch endliche Strecken voneinander getrennt sind, dann wächst die Funktion SBZ(x) auf einer solchen Strecke nicht, sondern erst beim nächsten Stammbruch. Das ist immer nur einer, weil *alle* durch endliche Strecken getrennt sind. Dort wächst die Funktion also um 1. Und das gilt für alle x.   ─   wm vor 6 Tagen, 19 Stunden
@wm: Du sagst: "Wenn alle Stammbrüche durch endliche Strecken voneinander getrennt sind, dann wächst die Funktion SBZ(x) auf einer solchen Strecke nicht, sondern erst beim nächsten Stammbruch." Das ist so ja auch erstmal korrekt. Die Strecken, die du meinst, sind die Intervalle der Form \( [\frac{1}{n+1},\frac{1}{n}) \) mit einer natürlichen Zahl \( n \). Nehmen wir alle diese Strecken zusammen, so erhalten wir das offene Intervall \( (0,1) \). Uns interessiert aber gar nicht das Intervall \( (0,1) \), sondern das Intervall \( [0,1) \). Und dieses Intervall lässt sich eben nicht in Strecken unterteilen, auf denen SBZ konstant ist. Deshalb ist dein Argument, dass SBZ "nur allmählich wächst", nicht stichhaltig.   ─   42 vor 6 Tagen, 4 Stunden
Hier verstehe ich Dich leider nicht und bitte deshalb um weitere Aufklärung. Weshalb interessiert uns das halb offene Intervall [0, 1)? Die Stammbrüche liegen allenfalls in (0, 1]. Und weshalb lässt sich irgendeines dieser Intervalle nicht in Strecken unterteilen, auf denen SBZ konstant ist? Zwischen 1/(n+1) und 1/n ist SBZ jedenfalls immer konstant, ob offen oder geschlossen.
Entscheidend ist doch, dass mindestens ℵo endliche Strecken links von jedem definierbaren reellen x liegen müssen. Um ein konkretes Beispiel zu haben: Mindestens 100. Also kann ZF nicht für *alle* x > 0 richtig sein.   ─   wm vor 5 Tagen, 19 Stunden
Für das Zählen der Stammbrüche spielt es natürlich keine Rolle, ob wir das Intervall \( (0,x) \) oder \( [0,x) \) nehmen. Wenn wir aber nur Intervalle der Form \( (0,x) \) betrachten, dann ist es nicht zulässig, davon zu sprechen, dass \( SBZ \) von \( SBZ(0)=0 \) aus "nur gemächlich wächst", da dies eine Aussage über das Intervall \( [0,x) \) ist (Wir beziehen ja die Null explizit in unsere Überlegungen mit ein).

Ein Intervall \( [0,x) \) mit \( x > 0 \) kann niemals in Strecken unterteilt werden, auf denen \( SBZ \) konstant ist. Hier der Beweis: Angenommen wir hätten so eine Unterteilung. Dann müsste auf einer dieser Strecken, nennen wir sie \(I\), die Null liegen. Offensichtlich sind die Elemente in \(I\) mindestens genauso groß wie Null, also muss \(I\) von der Form \( [0,y) \) sein mit einem gewissen \( y > 0 \). Nach Annahme müsste nun \( SBZ \) auf \( I=[0,y) \) konstant sein. Insbesondere wäre also \( SBZ(y/2) = SBZ(0)=0 \). Dies bedeutet aber, dass zwischen \( 0 \) und \( y/2 \) kein Stammbruch liegt. Ein offensichtlicher Widerspruch.   ─   42 vor 5 Tagen, 11 Stunden
Wir wählen am besten das Intervall (-oo, oo). Dann gilt SBZ(x ≤ 0) = 0 und SBZ(1) = ℵo, ja sogar für jedes eps > 0: SBZ(eps) = ℵo,. Und alle Zwischenwerte sind erlaubt. Dein Beweis gilt für alle wählbaren Zahlen. Dass es auch nicht individuell wählbare, dunkle geben muss, folgt daraus, dass alle Stammbrüche einzeln verteilt und durch endliche Strecken getrennt sind. Diese Tatsache ist durch ∀n ∈ ℕ: 1/n - 1/(n+1) = 1/(n*(n+1)) > 0 unabwendbar gesichert.   ─   wm vor 5 Tagen, 8 Stunden
Was bedeutet es denn, dass eine Zahl "nicht wählbar" bzw. "dunkel" ist? Eine präzise mathematische Definition wäre hilfreich.   ─   42 vor 5 Tagen, 7 Stunden
Die gibt es nicht, weil das irgendein von ihm ausgedachter Schwachsinn ist. Jeder ernstzunehmende Mathematiker könnte dies vernünftig definieren. Er nicht.   ─   cauchy vor 5 Tagen, 7 Stunden
@42: Wie die Gleichung1/n - 1/(n+1) = 1/(n(n+1)) > 0 für alle Stammbrüche zeigt, sind alle Stammbrüche wie eine Perlenkette angeordnet, so dass die Funktion SBZ nur in Einerschritten von 0 auf ℵo steigen kann. (Das habe ich mir nicht ausgedacht, sondern es folgt aus dem endlichen Abstand zwischen *allen* Stammbrüchen.) Nun ist es aber unmöglich, einen Stammbruch oder eine reelle Zahl zu finden, für die die Funktion SBZ endlich ist. Solche Zahlen, die man nicht individuell wählen kann, nenne ich dunkel. Sie lassen sich nur kollektiv verwenden. Alle definierbaren natürlichen Zahlen zum Beispiel haben ℵo Nachfolger. Die kollektiv zu verwendende Menge aller natürlichen Zahlen hat keinen Nachfolger. Gewöhnlich versucht man das als Quantorenvertauschung abzutun. Aber das ist nicht zutreffend, wie man an den Stammbrüchen sieht. Eine deutsche Version meiner Arbeit zu dunklen Zahlen in einem ähnlich gelagerten Fall findest Du bei Interesse hier: https://www.researchgate.net/publication/365605468_Proof_of_the_existence_of_dark_numbers_bilingual_version   ─   wm vor 5 Tagen, 6 Stunden
@Cauchy: Definition: A natural number is "identified" or (individually) "defined" or "instantiated" if it can be communicated such that sender and receiver understand the same and can link it by a finite initial segment to the origin 0. All other natural numbers are called dark natural numbers.

Communication can occur
 by direct description in the unary system like ||||||| or as many beeps, flashes, or raps,
 by a finite initial segment of natural numbers (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) called a FISON,
 as n-ary representation, for instance binary 111 or decimal 7,
 by indirect description like "the number of colours of the rainbow",
 by other words known to sender and receiver like "seven".

https://www.hs-augsburg.de/~mueckenh/Transfinity/Transfinity/pdf   ─   wm vor 5 Tagen, 5 Stunden
@wm: Du schreibst "Wie die Gleichung1/n - 1/(n+1) = 1/(n(n+1)) > 0 für alle Stammbrüche zeigt, sind alle Stammbrüche wie eine Perlenkette angeordnet, so dass die Funktion SBZ nur in Einerschritten von 0 auf ℵo steigen kann." Aber die "Perlenkette" schließt die Null doch überhaupt nicht ein. Deshalb darfst du auch nicht einfach diese Schlussfolgerung ziehen.   ─   42 vor 2 Tagen, 6 Stunden
Und wie ich oben bewiesen habe, kann es so eine Perlenkette, die die Null einschließt, auch überhaupt nicht geben.   ─   42 vor 2 Tagen, 6 Stunden
@42: Die Funktion SBZ ist 0 für x = 0 und größer als Null für x > 0. Und nach der Formel sind alle Perlen der Kette, die natürlich nur im positiven Gebiet liegen, durch endliche Abstände > 0 voneinander getrennt. Deswegen kann das Wachsen der Funktion nur in Schritten der Stufenhöhe 1 erfolgen. Dass die Null eingeschlossen wäre, ist natürlich falsch und auch niemals behauptet worden.   ─   wm vor 1 Tag, 12 Stunden

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