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Multipliziere die DGL mit \( e^{\int-3 \mathrm dx}=e^{-3x} \)
\( y'-3y=x\\ y'\cdot e^{-3x}-3y\cdot e^{-3x}=xe^{-3x}\\ y'\cdot e^{-3x}+\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}(e^{-3x})\cdot y=xe^{-3x} \)
Nun erkennt man, dass die linke Seite ein abgeleitetes Produkt ist.
\(\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}(e^{-3x}\cdot y) =xe^{-3x} \)
Wenn man das nun nach x integriert und auf der rechten Seite partielle Integration anwendet, erhält man:
\( e^{-3x}\cdot y = e^{-3x}(-\frac{1}{3}x-\frac{1}{9}+c)\)
Löst man nun nach y auf, erhält man:
\( y(x)=-\frac{1}{9}(3x+1)+c e^{3x}\)
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holly
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Warum wird auf der Linken Seite 2mal mit den e^(-3x) Term multipliziert? - Da jeder Summand multipliziert werden muss, genau, wie du sagst.
Warum verschwindet die -3 im 3. Schritt? - Sie verschwindet nicht, sie steckt in der Ableitung von \( e^{−3x} \).
Die Intergation dürfte korrekt sein: \( \frac{-x}{3e^{3x}}-\frac{1}{9e^{3x}} \) ─ holly 14.01.2020 um 20:49
Warum verschwindet die -3 im 3. Schritt? - Sie verschwindet nicht, sie steckt in der Ableitung von \( e^{−3x} \).
Die Intergation dürfte korrekt sein: \( \frac{-x}{3e^{3x}}-\frac{1}{9e^{3x}} \) ─ holly 14.01.2020 um 20:49
Warum wird auf der Linken Seite 2mal mit den e^(-3x) Term multipliziert? Liegt das daran dass man y‘ mit den Term multiplizieren muss und da -3y noch da ist auch -3y mit den Term multiplizieren?
Warum verschwindet die -3 im 3. Schritt? Kann sein dass ich gerade etwas übersehe.
wenn ich x*e^(-3x) integriere kriege ich -x/(3e^(3x)-1/9e^(3x) raus.
─ anonymcbc21 08.01.2020 um 19:58