Grenzwertuntersuchung bei gebrochenrationaler Funktion mit Wurzel

Aufrufe: 880     Aktiv: 17.05.2020 um 21:40
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Hallo liebe Leute bei Mathefragen.de

 

Ich habe folgende Funktion:

 

Grenzwertuntersuchung für x gegen + Unendlich für die Funktion

\(  \frac {1-x} {1-\sqrt{x}} \) 

 

Die Lösung dafür ist 2. Nun meine Frage, wie dies zustande kommt. Im Lösungsschritt wird angegeben:

\(  \frac {1-x} {1-\sqrt{x}} \)   = \(  \frac {(1+\sqrt{x})(1-\sqrt{x})} {1-\sqrt{x}} \)   =  \(1 + \sqrt{x} \)  = 2

 

Ich habe nicht wirklich eine Idee wie diese Rechenschritte zustande kommen.

 

Ich freue mich sehr über Antworten

 

Herzliche Grüße

Benjamin

 

 

 

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Das ist die dritte binomische Formel rückwärts. Diese lautet ja: `a^2-b^2 = (a+b)(a-b)`. Hier wird sie für `a=1` und `b = sqrt x` angewendet. Beachte, dass `(sqrt x)^2 = x` ist.

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Ist hier keine Polynomdivision erforderlich?   ─   benitodilorenzo 12.05.2020 um 16:54
Das ist doch gar kein Polynom.
Du könntest natürlich nach den Regeln der Polynomdivision dividieren. Da käme dasselbe raus.   ─   digamma 12.05.2020 um 16:57
Okay vielen dank, ich versuche das mal zu verstehen. Heißt das, man "macht" einfach eine binomische Formal daraus indem man für das a die 1 einsetzt und für b die Wurzel X?   ─   benitodilorenzo 12.05.2020 um 17:15
so in etwa ja. Nur musst du hier eben zuerst erkennen, dass du die 3. Binomische Formel eben schon ausgerechneter weise in 1-x da stehn hast und vom "Ergebnis" zum "Anfang" zurück willst =)   ─   glanma94 12.05.2020 um 17:21
ich verstehe es trotzdem nicht. Wie komme ich denn vom ersten zum zweiten Rechenschritt? Also beim zweiten Rechenschritt ist jetzt klar ersichtlich, dies ist die binomische Formel "schon ausgerechnet" und ich kann sie zurückrechnen. Aber wie komme ich von

\( \frac {1-x} {1-\sqrt{x}} \)

zu \( \frac {(1+\sqrt{x})(1-\sqrt{x})} {1-\sqrt{x}} \)

ich komme nicht drauf, sorry Blackout!
  ─   benitodilorenzo 12.05.2020 um 17:34
wie vorher schon erwähnt, weis man ja, dass die Wurzel ( aus einer Zahl) zum quadrat immer die Zahl selbst ist, das darfst natürlich auch für variablen anwenden. Das ist mal Punkt 1 den verinnerlichen musst.
Damit du jetzt allerdings Kürzen kannst (du willst immer versuchen zu Kürzen bevor du eine Polynomdivision ansetzt) musst du den Nenner auch im Zähler mit einer Multiplikation stehen haben (is ja logisch weil aus der Summe Kürzen darf man ja nicht). Dh dann für dich du willst im Zähler irgendwie auf 1-wurzel(x) kommen. Gerade deshalb bietet sich dann die 3. Binomische Formel an. Im prinzip "weist" du also im Vorhinein wo du hinwillst, nämlich genau zu einer Form in der im Zähler ein Produkt steht ( kann natürlich auch als Klammerausdruck da stehen), welches den Nenner beinhält. Selbes Prinziep hier : Versuch mal das zu Kürzen: Zähler = x^2+4x+4 mit Nenner = (x+2)   ─   glanma94 12.05.2020 um 17:43
Ich hoff ich hab deine Frage jetzt richtig verstanden xD   ─   glanma94 12.05.2020 um 17:46
okay ich komme langsam dahinter, vielen Dank schonmal. Was mir noch einen kleinen Kopfknoten macht ist folgendes: Wo ist der Exponent hin bei der schon "ausgerechneten" binomischen Formel (welche ich ja dann "zurückrechne")? Kann ich den einfach weglassen? Denn ohne diesen wäre ich jetzt erstmal nicht darauf gekommen, dass es sich hier um die 3 binomische Formel handelt. Irgendwie geht es bei mir noch nicht auf.   ─   benitodilorenzo 12.05.2020 um 17:48
Welchen Exponent meinst jetzt? (1+Wurzel(x))*(1-Wurzel(x))=1*1-1*wurzelx)+1*wurzel(x)-Wurzel(x)*Wurzel(x)=1^2-Wurzel(x)^2=1-x   ─   glanma94 12.05.2020 um 17:51
1 zum quadrat is ja klarer weise 1 und wie gesagt wurzel einer zahl zum Quadrat ist die zahl selbst --> keine Exponenten =) (Wurzel(2) ^2 =2)   ─   glanma94 12.05.2020 um 17:53
Ich meine wenn dort im Zähler einfach nur steht: 1 - x wie kann ich dann darauf kommen, das dies ein Ergebnis der 3. binomischen Formel ist? Denn diese ist ja nach dem Muster gestaltet: a^2-b^2 = (a+b)(a-b) also eben MIT dem Exponenten ^ 2
   ─   benitodilorenzo 12.05.2020 um 17:53
Ah jetzt hats klick gmacht xDDD
ok hmm wie erklärt man das? im Prinzip ist es übung und darauf achten =).
Aber hier sieht mans halt schön, weil im Nenner schon Wurzel x Da steht und der Teil davor gleich ist wie im Zähler. Wuzelziehn ist umkehrung vom Quadriern und die binomische Formel is ja so was ähnliches wie Quadriern. Da Durch Quadriern positive vorzeichn bekommst da aber ein Minus steht und vorallem nur ein 2 gliedriger Term da steht kommt man ebn auf die 3. Binomische Formel   ─   glanma94 12.05.2020 um 17:59
mhhh das hab ich leider nicht verstehen können. Gibt es dazu eventuell Videos oder speziellere Herleitungen und Übungsaufgaben?
Liebe Grüße, Benjamin   ─   benitodilorenzo 12.05.2020 um 19:29
Also so im speziefischen fall eher nicht, nur im allgemeinen zu Binomische Formeln ebn aus der 8. Schulstufe. Rückführen auf Binome wärs wenn googlen willst oder nachschaun in einem Schulbuch. Daniel Jung hat soweit ich weis auch videos dazu. Einfach mal durchschaun und üben. Hauptsächlich muss man halt dran denken dass es sowas mal iwo gab xD dann gehts eig. eh recht angenehm. Das rückführen an sich is ja im grunde eh nicht schwer.   ─   glanma94 12.05.2020 um 22:13
Ich habe jetzt mindestens 10 Videos durchgeschaut und auch bei sonstigen Aufgaben überall nachgeschaut. Nirgendwo wird erklärt, wieso ich quasi bei jedem beliebigen Ausdruck der eine Summe aus zwei Teilen ist, auf die 3. binomische Formel zurückführen darf. Also leider hilft mir das so überhaupt nicht weiter. Ich würde gerne verstehen, wieso ich die 3. binomische Formel benutzen darf, obwohl eben hier, wie schon erwähnt, keine "hochzwei" Exponenten bei beiden Teilen aus der Summe vorkommen. Denn dies ist ja eben NICHT der Fall bei 1 - x
Tut mir leid, ich danke dir und Euch sehr für die Mühe, nur würde ich diese Lösung wirklich gerne nachhaltig finden.
Ich meine Mathe ist ja das ERKENNEN von Strukturen. Und hierbei GIBT es bisher für mich und aus den jetzigen Erklärungen resultierend keine Struktur und kein Muster. Denn das Muster bzw. die Struktur, welche ich hierbei anführe, ist ja eben NICHT gegeben: Eine Summe aus zwei unterschiedlichen Basen (Variablen) mit einem (quadratischen) Exponenten. Oder wie seht ihr das, wie siehst du das? Ohne eine klare Grundstruktur hierbei, ist es für mich nicht möglich hieraus einen Mehrwert zu ziehen.   ─   benitodilorenzo 13.05.2020 um 08:57
Das mit dem Erkennen von Strukturen ist so ne sache =)
Wenn man weis, dass 1² =1 ist und Wurzel(x²) =x ist muss man ja nicht zwingenderweise das auch so da stehen haben mit 1² - Wurzel(x²)
(( Wenn da steht berechne 1/3 von 9, rechnest ja auch einfach 9:3 obwohls nicht in dieser Struktur da steht =D))

Ich versteh schon was du meinst mit Érkennen von Strukturen, genau so gut könnt ich Mathematik aber auch als Verknüpfen von Bekannten Strukturen mit neuen Problemen beschreiben, denn nichts anderes passiert hier. DU HAST DAS WISSEN um 3. Bin.Form. DU WEIST das 1²=1 usw. Dann muss das doch nicht explizit da stehn.
Der Mehrwert für dich sollte hier also nicht sein: Ich SEH die OFFENSICHTLICHE STRUKTUR a²-b² und schliese auf 3. Bin. Formel sondern der Mehrwert sollte sein: Ich kann diese Inhalte verknüpfen und achte absofort darauf ob diese (ich nenns mal )Faktorisierung möglich ist. Gerade die Binomischen Formeln werden für soetwas gerne verwendet, Also in Zukunft einfach mal schaun, was kann ich machen mit den Bin.Form. bzw irgend einer anderen Faktorisierung? geht da was?   ─   glanma94 13.05.2020 um 11:29
Man könnte auch auf dem üblichen Weg versuchen, den Bruch rational zu machen, indem man mit `(1+sqrt x)` erweitert. Dann hat man auch die 3. binomische Formel, aber "vorwärts" statt "rückwärts". Im Nenner erhält man dann `(1-sqrt(x))*(1+sqrt(x))= 1-x`. Im Zähler bekommt man `(1-x)(1+sqrt x)`. Man kann dann den Faktor `(1-x)` kürzen und kommt so auch auf das Ergebnis `(1+sqrt x)`.
Dieses "Nenner rational machen" mit Hilfe der 3. binomischen Formel ist eine Standardtechnik im Umgang mit Brüchen, bei denen Wurzeln im Nenner stehn.   ─   digamma 13.05.2020 um 14:58
Okay danke das hilft mir doch nochmal weiter, denn hier scheint das Schema noch allgemeiner zu sein.

Dazu habe ich gerade dieses Video geschaut:
https://www.youtube.com/watch?v=NYw6plztCaI

Nun frage ich mich aber, nach dem anschauen von Daniels Video, ob beim rational machen, IMMER eine binomische Formel verwendet werden MUSS. Also in diesem Fall das Schema, einmal kommt im Nenner das Plus, einmal das Minus vor.   ─   benitodilorenzo 17.05.2020 um 13:56
Und wieso weiß ich, dass ich mit 1 PLUS WurzelX erweitern muss und nicht mit 1 MINUS Wurzel X? Liebe Grüße, Benjamin   ─   benitodilorenzo 17.05.2020 um 21:32
Weil das nur mit PLUS die dritte binomische Formel ist. Bei MINUS wäre es die zweite und man bekäme im Nenner `1 - 2 sqrt x +x`. Das wäre wenig hilfreich. Da würde die Wurzeln nicht verschwinden.
Im Grunde ist es aber so: Man probiert halt mal aus, was hilfreich sein KÖNNTE.   ─   digamma 17.05.2020 um 21:40

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Hallo Benjamin,

Entweder überseh ich da grob was oder deine Lösung ist Falsch, würde eher behaupten das die Funktion nach unendlich geht für Lim(x-->inf)(f(x))

Was die Rechenschritte betrifft : 1-x = Durch die dritte Binomische Formel (a-b)*(a+b), und dann halt kürzen.

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Student, Punkte: 51

 
Benötige ich denn keine Polynomdivision hierfür?   ─   benitodilorenzo 12.05.2020 um 16:54
Das ist die Lösung für `x to 1`, nicht für `x to +infty`. Für `x to +infty` geht der Funktionswert auch gegen `+infty`.   ─   digamma 12.05.2020 um 16:59
Nein "Polynomdivision" ist nur notwendig wenn du auch Polynome hast sprich sowas in die richtung.: x^2+x+3. Also hier genügt simples Kürzen. Was die Lösung betrifft seh ich dass genau so wie DIGAMMA   ─   glanma94 12.05.2020 um 17:02

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