Wie schreibe ich einen Beweis, der belegt, das die Wurzel einer nicht Primzahl (15) irrational ist?

Erste Frage Aufrufe: 467     Aktiv: 07.01.2022 um 15:47
0
Ich lerne gerade für eine Matheklausur (9. Klasse), für welche wir die Beweisführung einer irrationalen Zahl brauchen. 
Bisher habe ich immer mit den Wurzeln aus Primzahlen gerechnet, was auch ganz gut geklappt hat. Jetzt habe ich es aber mal mit der Wurzel aus Fünfzehn versucht, wo ich aber nicht weiterkomme.
Alles fing ganz normal an:
 
√15 = p/q |²
15 = p²/q² |*q²
15*q² = p²
 
Nun ist klar dass, p² durch 15 teilbar ist, jedoch (soweit ich weiß) nicht das p auch durch 15 teilbar ist. Da bei den Primzahlen immer mit dieser begründet wurde, aber 15 ja keine Primzahl ist dachte ich, dass ich mir einfach eine andere Primzahl nehme durch die 15 teilbar ist (z.B. 5), und somit auch p² und p. 
Also ging es so weiter:
 
p = 5*r |²
p² = 25r²
 
Dann hab ich das in die erste Gleichung eingesetzt:
 
15q² = 25r²
 
...und wusste nicht mehr weiter. Eigentlich müsste ich jetzt zeigen, dass q auch durch 5 teilbar ist, und somit p und q nicht teilerfremd sind, wodurch die Aussage √15 könnte als p/q dargestellt werden falsch und somit bewiesen ist, dass die Wurzel aus 15 irrational ist. 
Könnt ihr mir helfen, wie ich es hinbekomme, den Beweis richtig zu schreiben?

 
Diese Frage melden
gefragt

Punkte: 14

 
Kommentar schreiben
1 Antwort
1
Du hast doch nun $3\, q^2=5\, r^2$, also ist 5 Teiler von $3\, q^2$, also (da 5 kein Teiler von 3 ist) auch von $q^2$, also von $q$. Man braucht hier die Eigenschaft: Für $p$ Primzahl gilt: $p$ ist Teiler von $a\,b\Longrightarrow p$ ist Teiler von $a$ oder $p$ ist Teiler von $b$.
Das ist doch der gleiche Beweis wie für $\sqrt5$, wenn Du die 3 durch eine 1 ersetzt.
Diese Antwort melden
geantwortet

Lehrer/Professor, Punkte: 38.93K

 

Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden. Mikn wurde bereits informiert.