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Das ist partielle Integration mit $u(x)=\sin(tx)$ und $v'(x)=-x\mathrm{e}^{-x^2}$. Die Aufleitung von $v'$ kann man sofort sehen, da vor dem $\mathrm{e}$ die Ableitung des Exponenten steht bis auf einen Faktor, der dann dazukommt.