Banacher Fixpunktsatz

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Kann mir einer bei der b weiterhelfen?

gefragt 2 Monate her
finn2000
Student, Punkte: 156

 
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1 Antwort
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Am besten formt man schon bei der (a) etwas anders um und geht über die inverse Matrix, also

\( \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} x_2 + \cos(x_1) \\ \sin(x_1 + x_2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\)

\( \Leftrightarrow \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_2 + \cos(x_1) \\ 1+\sin(x_1 + x_2) \end{pmatrix} \)

\( \Leftrightarrow \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \frac{1}{10} \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_2 + \cos(x_1) \\ 1+\sin(x_1 + x_2) \end{pmatrix} =: \phi \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \)

 

Für die (b) erhalten wir dann zunächst

\( \left\| \frac{1}{10} \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} \right\|_{\infty} = \frac{2}{5} \)

Und wegen

\( \vert x_2 - y_2 + \cos(x_1) - \cos(y_1) \vert \) \( \le \vert x_2-y_2 \vert + \vert \cos(x_1) - \cos(y_1) \vert \) \( \le \vert x_2 - y_2 \vert + \vert x_1 - y_1 \vert \)

und

\( \vert \sin(x_1+x_2) - \sin(y_1 + y_2) \vert \le \vert x_1+x_2-(y_1+y_2) \vert \le \vert x_1-y_1 \vert + \vert x_2 - y_2 \vert \)

folgt außerdem

\( \left\| \begin{pmatrix} x_2 + \cos(x_1) \\ 1+\sin(x_1 + x_2) \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} y_2 + \cos(y_1) \\ 1+\sin(y_1 + y_2) \end{pmatrix} \right\|_{\infty} \) \( \le \vert x_1-y_1 \vert + \vert x_2-y_2 \vert \) \( \le 2 \cdot \left\| \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} \right\|_{\infty} \)

 

Insgesamt gilt also

\( \left\| \phi \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} - \phi \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} \right\|_{\infty} \)

\( = \left\| \frac{1}{10} \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} \left( \begin{pmatrix} x_2 + \cos(x_1) \\ 1+\sin(x_1 + x_2) \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} y_2 + \cos(y_1) \\ 1+\sin(y_1 + y_2) \end{pmatrix} \right) \right\|_{\infty} \)

\( \le \left\| \frac{1}{10} \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} \right\|_{\infty} \ \ \left\| \begin{pmatrix} x_2 + \cos(x_1) \\ 1+\sin(x_1 + x_2) \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} y_2 + \cos(y_1) \\ 1+\sin(y_1 + y_2) \end{pmatrix} \right\|_{\infty} \)

\( \le \frac{4}{5} \cdot \left\| \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} \right\|_{\infty} \)

 

Für die Anwendung des Banachschen Fixpunktsatzes brauchst du dann noch eine geeignete abgeschlossene Menge.

geantwortet 2 Monate her
anonym
Student, Punkte: 4.49K
 

wie kommt man auf die Idee die inverse zu benutzen und geht dadurch auch nicht "kaputt"?   ─   finn2000 2 Monate her

ah ich habs. Man bastelt sich so seine Funktion wo man den Fixpunkt bestimmen will genial! Danke!!!!!   ─   finn2000 2 Monate her

aber noch eine frage wenn man die norm erst von der matrix ohne x1 und x2 nimmt und dann die hintere welches rechengesetz ist das?   ─   finn2000 2 Monate her

und warum ist cos..... kleiner gleich x1 - y1 ?   ─   finn2000 2 Monate her

als abgeschllosene menge einfach den R quadrat   ─   finn2000 2 Monate her

Das Rechengesetz, das dir das Auseinanderziehen erlaubt, gilt speziell für die \( \| \cdot \|_{\infty} \)-Norm. Wahrscheinlich habt ihr das irgendwann mal besprochen. Das liegt daran, dass die Zeilensummennorm genau die von der Maximumsnorm induzierte Norm ist.

Der Sinus und der Cosinus sind Lipschitz-stetig mit Lipschitz-Konstante 1. Das kann man sich mithilfe des Mittelwertsatzes überlegen. Aber wahrscheinlich habt ihr auch das schon irgendwann mal gesehen.

Ja, genau, als abgeschlossene Menge kann man \( \mathbb{R}^2 \) nehmen.
  ─   anonym 2 Monate her

ok danke   ─   finn2000 2 Monate her
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