Wie ist der Flächeninhalt dieser Funktion?

Aufrufe: 84     Aktiv: 06.04.2021 um 17:49

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Hallo Leute,

bei der Funktion - 3/16x^3+2,25x+3 entstehen 2 Flächen. Eine Fläche soll 8 mal so groß sein wie die andere.

Genauer gesagt die Fläche unter dem Graph im ersten Quadraten soll 8 mal so groß sein wie die Fläche unter dem Graph im zweiten Quadraten. Das soll man beweisen. 

Habe dazu schon viele Videos gesehen und komme dennoch nicht weiter. 

Möchte sich jemand dransetzen?

Schönen Ostersonntag.

Danke an alle.
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gefragt

Punkte: 25

 

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Was für Flüchen sollen das denn sein ?   ─   markushasenb 04.04.2021 um 11:58

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Hab die Frage angepasst.   ─   max99 04.04.2021 um 14:29

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1 Antwort
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Hallo peter895565

Ich habe nur eine Vermutung was du zu lösen versuchtst und für diese Vermutung möchte ich dir einen Lösungsvorschlag zeigen, den du auch zum Lösen andere Probleme dieser Aufgabentypen benutzen kannst.

Also du hast ja folgende Funktion \(f(x)=-\frac{3}{16}x^3+2.25x+3\), welche wie folgt aussieht (die grüne)

So wie ich das verstehe betrachtest du nur das Intervall von \(-2\) bis \(4\) und möchtest darin einen Punkt \(y \in [-2,4]\) finden so dass das die Fläche von \(f(x)\) von \(-2\) bis \(y\) acht mal grösser ist als die Fläche von \(f(x)\) von \(y\) bis \(4\). Also anderst gesagt \(\int_{-2}^{y} -\frac{3}{16}x^3+2.25x+3 \,dx = 8 \cdot ( \int_{y}^{4} -\frac{3}{16}x^3+2.25x+3 \,dx)\).

Ich hoffe du verstehst die Idee dahinter bis hier hin, denn das war eigentlich schon die ganze Hexerei. Was du jetzt noch tun musst ist die Gleichung auflösen, das heisst du berechnest beide Integrale (achtung, nun hast du halt nur eine Integrationsgrenze als Zahl gegeben, die zweite Integrationsgrenze ist dabei jeweils \(y\), das soll dich aber nicht irritieren, denn du darfst damit genau gleich rechnen als wäre es eine Zahl. Wenn du das nicht verstehst oder unsicher bist melde dich doch.)
Ich ermutige dich das selbst zu rechnen und schreibe dir nur das hin, auf was ich gekommen bin.
Also du berechnest die Integrale ... und erhälst:
\(-\frac{3}{64}y^4+\frac{7}{8}y^2+3y+\frac{9}{4}=\frac{3}{8}y^4-9y^2-24y+144\)

Nochmals zur Erinnerung, wir suchen unser \(y\) so dass die obige Gleichung erfüllt ist, also fasst du am Besten mal alles zusammen und schreibst es auf eine Seite, dann erhälst du:
\(-\frac{27}{64}y^4+\frac{81}{8}y^2+27y-\frac{567}{4}=0\)
Nun ist dein Ziel diese Gleichung zu lösen, dafür gibt es verschiedene Möglichkeiten, wobei ich dir den Taschenrechner empfehle, da es nicht wirklich schöne Lösungen gibt.
wenn du nun also das richtig gelöst hast, solltest du \(y_1\approx 4,75316\) und \(y_2\approx 3,092673\), Was du nun aber bemerkst ist, dass ich ja zu beginn gesagt habe, ich möchte \(y \in [-2,4]\) finden, daher fällt die Lösung \(y_1\) weg, da sie nicht in diesem Intervall liegt, also bleibt nur \(y_2\) übrig.

Wenn du dir das graphisch darstellen möchtest sieht das so aus:




wobei \(b=\int_{-2}^{y_2} f(x) \, dx\) ist und \(c=\int_{y_2}^{4} f(x) \, dx\)

Und wir sind nun also fertig.

Ich weiss es ist ein wenig lange jedoch hoffe ich ist dier das Vorgehen klar und du kannst es auch für andere ähnliche Probleme anwenden.

Frohe Ostern
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Student, Punkte: 734
 

Die Aufgabe lautet, dass die Fläche unter dem Graph im ersten Quadraten 8 mal größer sein soll als die Fläche unter dem Graph im zweiten Quadraten. Geht das dann einfacher?   ─   max99 04.04.2021 um 14:26

Okei ja dann habe ich die Frage falsch interpretiert, ich hoffe du hast aber trotzdem etwas gelernt.
Hmm werde aber noch nicht ganz schlau ab deiner Frage, denn die der Graph wächst im 2. Quadrant ins unendliche, sprich du kannst da die Fläche nicht berechnen, bist du dir sicher dass die Aufgabe so lautet? Könntest du nicht mal ein Foto davon Posten, vielleicht hat es eine versteckte Information die du übersehen hast, denn so sehe ich noch nicht ganz was du zeigen willst.
  ─   karate 04.04.2021 um 16:02

Der zweite Quadrat endet bei der x Achse.
-2 bis 0 ist gemeint
  ─   max99 04.04.2021 um 16:52

Okei, ja eingentlich endet die Funktion im zweiten quadrant nicht wirklich bei -2 sondern geht ins unendliche also ist das der Punkt an dem wir uns missverstanden haben.
Okei ja dann ist die Aufgabe ja eigentlich gar nicht so schwer denn was du zeigen musst ist, dass
\(8\cdot(\int_{-2}^{0} f(x)\, dx)=\int_{0}^{4}f(x)\, dx\) das heisst du berechnest beide Integrale, geht ja ganz flott da du die Integrationsgrenzen kennst und die Funktion ein Polynom ist und dann bist du ja eigentlich so gut wie fertig. Verstehst du was ich meine?
  ─   karate 04.04.2021 um 16:59

Ja das verstehe ich. Bei den Flächen geht es nur um die im ersten und zweiten Quadraten, also den beiden Oberhalb der x Achse. Das Problem ist nur das meine Rechnung irgendwie nicht aufgeht. Wärst du vielleicht so nett und könntest mir das ausrechnen? Mega vielen Dank für deine bisherige Hilfe :)   ─   max99 05.04.2021 um 14:35

Ah okei, ja kann ich machen, ich würde aber gerne mal kurz deine Lösung sehen bzw. das was du bis jetzt gemacht hast, denn vielleicht lässt sich der Fehler gleich dort erkennen (irgend ein integral das falsch berechnet wurde oder so), könntest du es also kurz hochladen als foto? Ist egal auch wenn es nicht komplett ist   ─   karate 05.04.2021 um 14:49

Ich rechne ja obere - untere Grenze. Komme leider auf völlig falsche Ergebnisse.

9,75 beim ersten und 18 beim zweiten. Kann leider kein Bild hochladen.
  ─   max99 06.04.2021 um 15:28

Okei ja dann versuche ich es nochmals aber das zweite Integral hast du richtig berechnet, wahrscheinlich hast du beim ersten irgend ein Vorzeichen vergessen.

Also du berechnest
1.
\(A_1=\int_{-2}^{0} -\frac{3}{16}x^3+2.25x+3\,dx=[-\frac{3}{64}x^4+\frac{9}{8}x^2+3x]_{-2}^0=-\frac{3}{64}(0)^4+\frac{9}{8}(0)^2+3\cdot 0-(-\frac{3}{64}(-2)^4+\frac{9}{8}(-2)^2+3(-2))=\frac{9}{4}\)

2.
\(A_2=\int_{0}^{4} -\frac{3}{16}x^3+2.25x+3\,dx=[-\frac{3}{64}x^4+\frac{9}{8}x^2+3x]_{0}^4=-\frac{3}{64}(4)^4+\frac{9}{8}(4)^2+3\cdot 4-(-\frac{3}{64}(0)^4+\frac{9}{8}(0)^2+3\cdot (0))=18\)

Nun bemerkst du dass
\(8\cdot A_1=8\cdot \frac{9}{4}=18=A_2\)

Und du bist fertig.
Ist das nun klar?

  ─   karate 06.04.2021 um 16:54

Vielen Dank Karate :) Mega gute Hilfe. Bleib Gesund :D, du wirst gebraucht :D!!! Hatte mich wirklich bei den Vorzeichen geirrt..   ─   max99 06.04.2021 um 17:32

kein Problem peter895565 habe ich doch wirklich gerne gemacht und freut mich wenns dir geholfen hat! Sonst darfst du dich gerne melden bei weiteren Problemen wir helfen gerne.

Noch zur Info vielleicht weisst du es schon wenn sich die Frage für dich erledigt hat, kannst du oben bei der Antwort den Haken setzen sodass andere Mitglieder sehen, dass diese Frage geklärt und abgehakt wurde;)
  ─   karate 06.04.2021 um 17:48

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