Wenn man die Nullstellen gegeben hat, ist es immer am einfachsten, das Polynom in der faktorisierten Version anzugeben. Von den gegebenen Nullstellen wissen wir, dass $f(x)=\ldots(x-1)(x-2)(x-3)\ldots$ sein muss Jetzt soll sie keine weiteren Nullstellen haben, da gibt es zwei Möglichkeiten: Entweder du erhöhst die Vielfachheit der Nullstellen, indem du Potenzen an die Klammern schreibst, oder du multiplizierst noch Terme daran, die keine Nullstellen haben, wie z.B. $x^2+1$. Außerdem kann man die Funktion noch beliebig strecken, ohne die Nullstellen zu verändern. Also wäre ein möglicher Ansatz $f(x)=a(x-1)^6(x-2)(x-3)$. Jetzt musst du den Parameter $a$ noch so bestimmen, dass die Funktion durch den gegebenen Punkt geht.

Aha, es ist immer gut, die Aufgabenstellung im Original anzugeben. Die ist nämlich nicht äquivalent zu dem, was Du zuerst geschrieben hast. Und da liegt auch gleich der Schlüssel zur Lösung.
Die Vorgabe lautet also genau bei Nullstellen, d.h. sie darf keine anderen haben. Bei Deiner ersten Version dürfte die gesuchte Funktion auch noch weitere andere Nullstellen. haben Mach Dir den Unterschied klar!
Bauanleitung:
Bastel Dir ein p(x) vom Grad 8 mit genau(!) den Nullstellen 1,2,3. Irgendeines! Aber Grad 8, dazu muss mind. eine Nullstelle eine mehrfache sein. Einfach die entsprechenden Faktoren (x-a) zusammenbauen.
Dies hat dann natürlich nicht p(4)=-12. Das erreicht man aber durch Multiplikation mit einer geeigneten Konstanten: \(q(x):=p(x)\frac{-12}{p(4)}\).
Mach unbedingt die Probe mit Deinem Ergebnis.