Matrix Quiz?

Aufrufe: 735     Aktiv: 15.05.2020 um 15:11

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Hallo, 

stimmt eine der Ausagen nicht? Bzw. Wie kann man sehen, dass diese Matrix digonalisierbar durch scharfes Hinsehen?

 

 

Liebe Grüße , kamil

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Hallo,

die Matrix ist nicht diagonalisierbar. Man kann sofort sehen, das die beiden Eigenwerte 

$$ \lambda_1 = \lambda_2 = 5+16i $$

sind. Das bedeutet die algebraische Vielfachheit ist \( 2 \). Damit die Matrix diagonalisierbar wäre, müsste die geometrische Vielfachheit auch \( 2 \) sein. 
Wenn wir nun aber auf der Hauptdiagonalen jeweils den Eigenwert abziehen, erhalten wir

$$ \mathrm{ker}(A- \lambda I ) \Rightarrow \left( \begin{matrix} 0 & 8-6i \\ 0 & 0 \end{matrix} \right. \left| \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \right) $$

Wir haben eine Nullzeile und eine nicht Nullzeile. Das bedeutet unser Lösungsraum (Eigenraum) wird nur von einem Vektor erzeugt. Somit ist der 1D und die geometrische Vielfachheit ist \( 1 \).

Also zusammengefasst: Man sieht sofort den Eigenwert durch die \( 0 \) unten links. Da wir aber beim berechnen des Eigenraums auf der Hauptdiagonalen den Eigenwert abziehen, sehen wir sofort dass das resultierende LGS keinen 2D Lösungsraum hat. 

Grüße Christian

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