Umkehrabbildung in den komplexen Zahlen

Erste Frage Aufrufe: 127     Aktiv: 05.12.2021 um 20:42

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Gegeb ist die Abb.:
$$f: \{x \in \mathbb{C} | Re(x) > 0 \} \rightarrow \{x \in \mathbb{C} | |x| < 1 \}; x \mapsto \frac {1-x}{1+x}$$
Ich soll dazu dieUmkehrabbildung bestimmen und hab da als Lösung:
$$f^{-1}(y) = - \frac {x-1}{x+1}$$
Wenn ich mir die Funktionen jetzt aber zeichne, dann bin ich etwas verwirrt. Weil die sehen halt identisch aus und nicht wie ich das gewohnt bin, gespiegelt an der Winkelhalbierenden des ersten Quadranten. Muss man da vielleicht noch zusätzlich was beachten, wenn man die Umkehrfunktion in den komplexen Zahlen berechnen möchte?
gefragt

Punkte: 32

 

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Wie hast du eine Abbildung \(\mathbb{C}\to \mathbb{C}\) gezeichnet? Nur die Realteil-Achsen? Auch sollte deine Umkehrfunktion von \(y\) abhängen...   ─   mathejean 05.12.2021 um 17:16

Zum 2.: Huch, da hab ich die Variablen verwechselt.
Zum 1.: Ja also ich hab bei geogebra einmal nur den Realteil gezeichnet, gut das wird vermutlich problemtatisch gewesen sein.
Zu meiner Frage, das Prinzip wie ich auf dieUmkehrabbildung komme bleibt aber in $\mathbb{C}$ identisch?
  ─   justs68pi 05.12.2021 um 17:33

Die Abbildungen sind so wie sie da stehen auch identisch. Zieh mal das minus in den Zähler... Da ist beim Rechnen irgendwas schief gelaufen.   ─   cauchy 05.12.2021 um 17:36

$y = \frac {1-x}{1+x} \iff y(1+x) = 1-x \iff y + yx = 1-x \iff y-1 = -x-yx $
$\iff y-1 = x(-1-y) $
$\iff \frac {y-1}{-1-y} = x$ Ist es möglich, dass ich hier irgendwie durch 0 teile?
$\iff -\frac {y-1}{1+y} = x$
  ─   justs68pi 05.12.2021 um 17:45

Da ist nichts schief gelaufen. Die Funktion ist gleich ihrer Umkehrfunktion. Genauer: Das gilt für die Funktionsvorschrift. Def/Wertebereich muss noch geprüft werden.
Die Rechnung bzw. Umformung läuft genauso wie im Reellen.
  ─   mikn 05.12.2021 um 18:13

Ich weiß nicht genau, ob du das meinst, aber ich schreib ma auf was mir gerade einfällt:
Sei $\frac {1-x}{1+x}$, dann muss gelten: $x \neq -1$, damit man nicht durch 0 teilt.
$x= a+i \cdot b$, also:
$a+ib = -1 + i \cdot 0$, daraus folgt $b \neq 0$ oder $a \neq -1$, damit die Funktion nicht durch 0 geteilt wird.
Da der $Re(x)>0$ also $a>0$ ist, ist die Bedingung für alle x aus C mit $Re(x)>0$ erfüllt, d.h. die Abbildung ist über den gesamten Definitionsbereich wohldefiniert.
Was genau du mit "der Wertebereich muss noch geprüft werden" meinst, verstehe ich nicht ganz recht.
  ─   justs68pi 05.12.2021 um 18:27

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Der Wertebereich der Umkehrabbildung muss mit dem Definitionsbereich der Abbildung übereinstimmen   ─   mathejean 05.12.2021 um 18:30

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... und der Wertebereich (Bildmenge) der Funktion ist der Defbereich der Umkehrfunktion. Zur Angabe einer Funktion gehört, was oft vergessen wird, Angabe von Def.- und Wertebereich.
Und nochmal: wozu das Gerechne mit a, b? In C wird genauso wie in R gerechnet.
  ─   mikn 05.12.2021 um 18:35

Sorry, dass ich da nochmal nachfragen muss. Cauchy hatte ja oben zumindest angemekt, dass wenn ich das - in den Zähler ziehe, die selbe Abbildung wieder herausbekomme. Aber wenn $f^{-1}(y) = f(x)$ ist, wie kann es denn dann sein, dass der Definitionsbereich der Umkehrung, Wertebereich der Abbildung ist (bzw Wertebereich der Umkehrung, Defberech der Abbildung)?   ─   justs68pi 05.12.2021 um 18:56

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Ich habe mich da unpräzise ausgedrückt. Die Abbildung ist nicht identisch, sondern die Funktionsvorschrift bzw. der Funktionsterm. Wie mikn schon richtig gesagt hat, gehört zur Angabe einer Funktion immer auch der Definitions- und Wertebereich.

Und zu deiner Frage: Weil eine Umkehrfunktion so definiert ist. Du musst für deine Umkehrfunktion also noch Def- und Wertebereich angeben.
  ─   cauchy 05.12.2021 um 19:14

Dann drückt das doch nicht so kompliziert aus xD. Danke für eure Hilfe, ich habe die Lösung jetzt.   ─   justs68pi 05.12.2021 um 20:41
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